координаты точки (проекция, вектора)

[Бодигрим]

Тогда у вас в результате получатся композиция поворотов, примененных к вектору $(0, 1, 0)$. Матрица поворота вокруг $Ox$ ---

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta \\ 0 & \sin\beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix} . $$

Матрица поворота вокруг $Oz$ ---

$$ \begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0\\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. $$

Умножайте на них вектор слева и будет вам счастье.

[ewert]

счастье будет неполным: надо исчо потом умножить на соотв. матрицу поворота вокруг оси $Y$.

Насчёт знаков: чтоб не мучиться, лучше поначалу считать ось $Z$ направленной в сторону поворота, и уже потом в самом конце изменить знак компоненты $z$.

[Бодигрим]

ewert писал(а):

счастье будет неполным: надо исчо потом умножить на соотв. матрицу поворота вокруг оси $Y$.

Ну, автор вроде как жаждал получить еще и начальные координаты точки $K$ - я про них говорил.

А все таки, какая хорошая штука - линейная алгебра! Насколько все проще и прозрачнее становится, чем первоначальный кавардак с проекциями и проекциями проекций!

[Андрей]

Спасибо, попробую щас перемножить и словить это самое счастье.
Подскажите еще, ранее Бодигрим предложил такой метод:

Цитата:

Спроецировав $K$ на плоскость $OYZ$ получим вектор $(0,y,z)$, который образует с $(0,1,0)$ угол $\beta$. Это в силу свойств скалярного произведения означает, что

$$ {(0,y,z)\cdot(0,1,0)\over \sqrt{y^2+z^2}} = \cos\beta $$

. Но $(0,y,z)\cdot(0,1,0)=y$, так что после преобразований получим $z=\pm y\tan\beta$.
и так дале...
$x=\pm y\tan\gamma$

Этот метод подходит или нет в виду всех этих уточнений с углом поворота γ относительно стержня ОК.

[Бодигрим]

А как насчет самому подумать и посчитать? У меня лично уже в глазах рябит от блюдечек с голубой каемочкой.

[ewert]

Бодигрим писал(а):

Ну, автор вроде как жаждал получить еще и начальные координаты точки $K$ - я про них говорил.

Тогда надо быть проще -- матрицы тут пока не нужны.

Шаг 0 (начальное положение):
$(x_0,y_0,z_0)=(0,1,0)$.

Шаг 1 (после поворота вокруг $X$):
$(x_1,y_1,z_1)=(0,\;\cos(\beta),\;\sin(\beta))$.

Шаг 2 (после поворота вокруг $Z$).
Переменная $z$ не меняется, следим только за $x,y$:
$(x_2,y_2,z_2)=(y_1\sin(\gamma),\;y_1\cos(\gamma),\;z_1)=(\cos(\beta)\,\sin(\gamma),\;\cos(\beta)\,\cos(\gamma),\;\sin(\beta))$.

Ну теперь для тип-топу умножаем на длину и меняем знак $z$:

$$\begin{cases}x_K=L\,\cos(\beta)\,\sin(\gamma); \\ y_K=L\,\cos(\beta)\,\cos(\gamma); \\ z_K=-L\,\sin(\beta). \end{cases}$$

[Андрей]

Именно такие формулы я и получил выводя их через проекции радиус вектора точки К на оси координат. Но вот получается погрешность по этим формулам 0,0056%, а по формулам Бодигрим а 0,000038%. Меня конечно устраивает погрешность и 0.0056% (и этот метод мне более понятен )просто интересно почему там погрешность настолько меньше, хотя в принципе то и то выводится через вектора.

А насчет того что: «самому подумать и посчитать?». Ну что тут скажешь Вы опять правы. Но все таки может Вы могли бы получить координаты X’к Y’к Z’к (можно их и не писать на форуме) просто интересно они совпадут с моими формулами или нет мне кажется я где то на путал в знаках.

[Бодигрим]

Цитата:

Именно такие формулы я и получил выводя их через проекции радиус вектора точки К на оси координат.

М-м, где вы получали _такие_ формулы? В вашем первом сообщении формула для $X_K$ иная.

Цитата:

Но вот получается погрешность по этим формулам 0,0056%, а по формулам Бодигрим а 0,000038%.

Как вы считаете погрешность?

[ewert]

Бодигрим писал(а):

Цитата:

Но вот получается погрешность по этим формулам 0,0056%, а по формулам Бодигрим а 0,000038%.

Как вы считаете погрешность?

у меня смутные ощущения, что уже второй раз вижу эти цифирки. И с каждым разом они подозрительнее.

[Андрей]

Начальные координаты точки К (Xк Yк Zк), я получал несколькими путями и те которые мною написаны в самом начале я посчитал наиболее правильными, поэтому и написал.

А погрешность я считая по формуле
p={((l-l_{form})/l)\cdot100} так и не смог по человечески написать через дробь
где l – длина стержня данная по условию
l_{form}-длина стержня определенная по формуле
l_{form} =\sqrt{x^2+y^2+z^2}
Координаты я нашел по формулам, а углы α, β и γ и длину стержня l задавал сам.

А цифорки эти я уже раз третий пишу, а чем они подозрительны?

[ewert]

тем, что погрешность должна составлять ровно ноль процентов в пределах точности куркулятора. А уж относительная погрешность порядка десять в минус шестой -- ни в какие ворота не лезет.

Ибо если формула правильная -- должен быть ровно ноль, если нет -- должно быть гораздо грубее.

[Бодигрим]

Я думал, вы задаете некоторую погрешность исходных данных и по ней находите погрешность тех или иных расчетных данных. Такой подход был бы осмыслен. Те миллионные процента, которые вы продемонстрировали, - это просто вычислительная погрешность вашего калькулятора на некоторых выбранных вами значениях исходных данных. Короче, первая лекция по методам вычислений: "Погрешности и их виды".

[Андрей]

Ну не знаю но погрешность по данным формулам
$\begin{cases}x_K=L\,\cos(\beta)\,\sin(\gamma); \\ y_K=L\,\cos(\beta)\,\cos(\gamma); \\ z_K=-L\,\sin(\beta). \end{cases}$
составляет порядка 0,000024%

А также я сделал трехмерную модель стержня в SolidWorks. Что позволило мне получить как конечные так и промежуточные числовые значения координат точки К. И погрешность примерно такого же порядка. Поверю Бодигриму на словно на счет погрешности, а то если начну читать еще литературу и по погрешностям боюсь что окончательно запутаюсь.
Хотя конечно не понятно почему при одних и тех же данных (углах, длине) но при координатах определенных по разным формулам погрешности разные аж на два порядка.

[ewert]

Андрей писал(а):

Ну не знаю но погрешность по данным формулам
$\begin{cases}x_K=L\,\cos(\beta)\,\sin(\gamma); \\ y_K=L\,\cos(\beta)\,\cos(\gamma); \\ z_K=-L\,\sin(\beta). \end{cases}$
составляет порядка 0,000024%

как-то это всё несерьёзно. Что Вы в точности понимаете под погрешностью? что с чем сравниваете?

[Андрей]

За эталон я беру длину стержня которую я сам задаю и потом сравниваю ее с длиной стержня полученной через координаты точки К. На пример я задаю длину стержня 200 мм и получаю длину стержня через координаты 199,999959 мм. Хотя наверно и не стоит заострять внимание на погрешности.