Снова про дырки и электроны в полупроводнике

[tohaf]

Можно ли так (без квантовой механики и строгих доказательств, и зонной теории) ответить на вопрос:
Одинакова ли скорость перемещения дырок и электронов в собственном полупроводнике помещенном во внешнее электрическом поле?

Пусть есть чистый полупроводник, без примесей и дефектов, например, кремний.
Каждый атом кремния имеет 4 валентных электрона и что каждый из этих электронов связывается с одним из 4 валентных электронов другого атома.

При температуре абсолютного нуля и при просто очень низких температурах все электроны находятся/участвуют в ковалентных связях (с точки зрения энергетической диаграммы - в валентных зонах).
При повышении температуры некоторые электроны из этих связей могут получить большую энергию и покинуть ковалентную связь (с точки зрения энергетической диаграммы - перейти в зону проводимости). И эти свободные электроны под тепловым воздействием хаотично перемещаются между атомами.

На месте ушедших электронов в связях остаются пустые области, дырки.

Если поместить образец кремния (образец с некоторой температурой, достаточной для появления небольшого количества электронов) в однородное электрическое поле, то свободные электроны очень быстро начнут перемещаться против направления напряжённости этого поля.
В процессе перемещения электроны будут ударятся об узлы решётки, на это будет тратиться какое-то время, но после этого удара всякий раз электрон будет снова продолжать путь.

Электроны, участвующие/оставшиеся в связях, тоже будут перемещаться, но исключительно прыжками по дыркам.
Для того, чтобы электрон из старой ковалентной связи перешёл в дырку (по сути, в новую ковалентную связь) затрачивается какое-то время.
При этом, такой электрон не считается свободным, ведь он движется не свободно, а только прыжками по дыркам.

В результате, через какое-то время, все дырки соберутся на одной стороне образца кремния, а все свободные электроны - на другой стороне.
Но дырки будут собираться чуть дольше из-за того, что время для появления дырки достаточно большое. Электрону нужно вырваться из старой ковалентной связи и перейти в новую. А свободному электрону нужно просто перемещаться. Иногда ударяясь об узел решётки и теряя скорость, но всё же - просто перемещаться.
Конец.

Всё опять неправильно, да?

[amon]

tohaf в сообщении #1284989 писал(а):

Всё опять неправильно?

Угу.

[alves]

amon, не могли бы Вы, пожалуйста, объяснить ошибки, допущенные ТС? Думаю многим это будет полезно.

[SVD-d]

Здесь стоит отметить три момента.

1) Чтобы электрону "покинуть ковалентную связь" надо затратить довольно большую энергию. 8-10 электрон-вольт. Собственно, вся физика полупроводников началась с того, что было объяснено, как именно прикладывая крошечное положительно смещение можно начать двигать электроны (гораздо меньше положенных 8-10 Вольт, достаточно и в тысячи раз меньшей величины). Во многом это благодаря тому что они вовсе не покидают ту самую ковалентную связь. Электроны фактически размазаны по всему кристаллу и могут совершать прыжки от одного атома к другому, находясь при этом примерно в одном и том же месте (тут я говорю про обратную решётку, естественно). Это называется "трансляционная симметрия" - и по сути происходит из-за того, что в бесконечной кристаллической решётке атомы друг от друга ничем не отличаются, а значит волновая функция имеет периодический вид.

2) Хотя электрону и нужно какое-то время чтобы переместиться, прыжок между двумя одинаковыми местами происходит практически мгновенно. При этом стоит понимать, что электрон может скакать только потому, что атом на который он попал в точности равен тому, с которого он улетел, иначе при прыжке понадобится изменить импульс и энергию. То есть, в идеальном кристалле электрон летит не замечая атомов, как будто в пустом пространстве. Поэтому для упрощения считают, что квазичастица "электрон в кристалле" - это ровно такой же электрон в пустоте, только у него немного другая масса. Обусловленная тем, что на приложение силы он отвечает немного другим изменением импульса. И, понятно, подвижность электрона в кристалле зависит от того, сколько там дефектов, то есть, как часто он за время своего движения сможет рассеяться. Чем больше вероятность рассеяния, тем меньше подвижность.

3) Соответственно, из-за того что масса у электронов и дырок разная (почему - не скажу, потому что вы просили без квантовой механики), то и подвижность (то есть, скорость в единичном поле) у электронов и дырок разная. Как правило, подвижность электронов больше.

Надеюсь, товарищ amon поправит, если я что-то не совсем точно сказал.

Возникает неловкий вопрос. Если электрон движется быстрее, а дырки медленнее, неужели на одном конце полупроводника соберётся больше электронов, чем на другом - дырок? Чтобы на него ответить знать тонкости полупроводников уже не нужно, поэтому переправлю его ТС.

[amon]

SVD-d, спасибо! Пока я собирался с силами что бы изложить всю физику твердого тела в двух абзацах, Вы это уже сделали. Отмечу только, что понятия электронов и дырок в полупроводниках штука сугубо квантовая, и попытки как-то обойтись без квантовой теории дело только запутывают (это не в укор SVD-d, он все правильно рассказал, только почему все так устроено на пальцах объяснить невозможно).

[alves]

SVD-d, amon, большое спасибо!

SVD-d писал(а):

Соответственно, из-за того что масса у электронов и дырок разная (почему - не скажу, потому что вы просили без квантовой механики), то и подвижность (то есть, скорость в единичном поле) у электронов и дырок разная. Как правило, подвижность электронов больше.

Можете все-таки сказать? С точки зрения квантовой механики это объясняется разными законами дисперсии электронов и дырок. Но почему графики $E(k)$ для электронов и дырок имеют разную кривизну остается не ясным.

[amon]

alves в сообщении #1372305 писал(а):

почему графики $E(k)$ для электронов и дырок имеют разную кривизну остается не ясным.

Потому, что если решить уравнение Шредингера в периодическом потенциале, то зависимость $E(\mathbf{k})$ будет разная для разных разрешенных зон. Боюсь, что для Вас это звучит как заклинание.

[alves]

amon
Если рассматривать метод сильной связи в одномерном случае, то зоне, образованной p-орбиталями, будут соответствовать большие значения интеграла перекрытия, чем зоне, образованной s-орбиталями, и, соответственно, меньшая эффективная масса носителей. Неужели это никак не коррелирует с тем, что написано в стартовом сообщении?

[amon]

alves в сообщении #1372458 писал(а):

Если рассматривать метод сильной связи в одномерном случае, то зоне, образованной p-орбиталями...

Объясните мне, тёмному, что такое p-орбитали в одномерном случае?

alves в сообщении #1372458 писал(а):

Неужели это никак не коррелирует с тем, что написано в стартовом сообщении?

IMHO, то, что Вы написали во-первых, неверно (масса тяжелой дырки в GaAs больше массы электрона, хотя электроны образовались преимущественно из s, а дырки из p-орбиталей), а во-вторых, непонятно как коррелирует с сообщением ТС, который считал, что носители скачут со связи на связь временами стукаясь лбом о торчащие на дороге атомы решетки.

[alves]

amon писал(а):

Объясните мне, тёмному, что такое p-орбитали в одномерном случае?

Сигма-связи в цепочки атомов.

amon писал(а):

непонятно как коррелирует с сообщением ТС, который считал, что носители скачут со связи на связь временами стукаясь лбом о торчащие на дороге атомы решетки

Чем больше интеграл перекрытия - тем более электрон размазан по кристаллу и будет двигаться быстрее, чем электрон, который "прыгает по связям".

[amon]

alves в сообщении #1372524 писал(а):

Чем больше интеграл перекрытия - тем более электрон размазан по кристаллу и будет двигаться быстрее, чем электрон, который "прыгает по связям".

amon в сообщении #1372510 писал(а):

масса тяжелой дырки в GaAs больше массы электрона, хотя электроны образовались преимущественно из s, а дырки из p-орбиталей

Все электроны "размазаны" одинаково. Эффективная масса определяется совсем не "степенью размазанности".

[alves]

Я не раз видел что ей, либо я неправильно понимаю, например, этот пост https://physics.stackexchange.com/a/31775 и учебник Шалимовой.

[amon]

alves в сообщении #1372532 писал(а):

либо я неправильно понимаю

Видимо, неправильно. Я Вам дважды приводил контрпример, но оба раза Вы его проигнорировали. Если Вам действительно интересно откуда берется эффективная масса, придется залезть в серьезный учебник типа Давыдова "Введение в теорию твердого тела", поскольку на пальцах, IMHO, приближение эффективной массы не объясняется. По Вашей ссылке (учебник Шалимовой я не открывал) все объясняется не интегралом перекрытия, а некой таинственной амплитудой перескока. Шо цэ такэ там не объясняется. Я тоже не берусь изложить несколько десятков страниц из учебника в паре абзацев.

[alves]

amon
Посмотрел учебника Давыдова. Там написано то же самое.


Или $w_a$ нельзя интерпретировать как "степень размазанности"?
Я не спорю с Вашим контрпримером, просто хочу понять простейший случай.

[amon]

alves в сообщении #1372917 писал(а):

Или $w_a$ нельзя интерпретировать как "степень размазанности"?

$w_a$ это амплитуда перехода на соседний атом в Борновском приближении. Она зависит от $W-w$ (потенциала на первом атоме от всех остальных атомов, исключая сам первый атом) и определяется скорее этим потенциалом, чем интегралом перекрытия самих волновых функций. Выкладка Давыдова работает только для s-орбиталей. Кроме того, функции $\varphi$ это некие вспомогательные функции, вообще говоря, не совпадающие ни с какими "реальными", например, с атомными. В реальности в методе сильной связи о волновых функциях и потенциалах ни кто не думает. Там подбирают эти самые матричные элементы так что бы зонная структура совпала с экспериментом, после чего можно пользуясь этими подобранными (подовранными) числами считать более тонкие эффекты.