2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 03:15 


02/02/16
24
Здравствуйте. Пытаюсь вычислить следующий интеграл.
$$
\int\limits_{\beta}^{\infty} \sqrt{x^2+\alpha \beta^2} e^{-x} \;\mathrm{d}x
$$
Здесь $\beta\ge0$, в общем случае $\alpha \in \mathbb{C}$. Пытаюсь решить хотя бы для $\alpha \in \mathbb{R}_{+}$.

Заменой можно убрать параметр из пределов. Пробовал различные подстановки, пробовал брать по частям, перелистал всего Градштейна-Рыжика, но так и не справился.

Не могли бы вы подсказать с какой стороны подобраться к решению? Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 03:45 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Tell Wilhelm
А почему вы считаете, что данный интеграл выражается через широко-используемые спецфункции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 11:47 


02/02/16
24
Ms-dos4 в сообщении #1372332 писал(а):
Tell Wilhelm
А почему вы считаете, что данный интеграл выражается через широко-используемые спецфункции?

Я об этом не знаю, но не могу утверждать и об обратном. По численным оценкам интеграла трудности не ожидаются.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 12:55 


21/07/12
126
Tell Wilhelm в сообщении #1372371 писал(а):
По численным оценкам интеграла трудности не ожидаются.

Кто вам сказал, что численные оценки помогают сказать, берется интеграл в каких-то спецфункциях или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 13:07 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Что-то какие-то неправильные у вас графики. С ростом $\beta$ значение интеграла будет экспоненциально убывать, как его не крути. У вас же минус под экспонентой.

-- 28.01.2019, 13:10 --

Tell Wilhelm в сообщении #1372330 писал(а):
Заменой можно убрать параметр из пределов.

Это надо было сделать в первую очередь и привести сюда то, что получилось (сразу отбросив не вызывающий затруднений множитель).

-- 28.01.2019, 13:12 --

Tell Wilhelm в сообщении #1372330 писал(а):
в общем случае $\alpha \in \mathbb{C}$. Пытаюсь решить хотя бы для $\alpha \in \mathbb{R}_{+}$.

Корень на комплексной плоскости — функция многозначная, так что сразу возникает вопрос: какая именно ветвь вам нужна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 14:11 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Если взять вторую производную интеграла по параметру $\alpha$ и проинтегрировать его по частям два раза, то можно получить такое вот дифференциальное уравнение: $$\[I={{e}^{-\beta }}\beta \sqrt{\alpha +1}+\frac{{{e}^{-\beta }}}{\sqrt{\alpha +1}}-\frac{4\alpha }{{{\beta }^{2}}}\frac{{{d}^{2}}I}{d{{\alpha }^{2}}}\]$$

Диффуры решать обычно проще, попробуйте, может чего и выйдет. Не забудьте только присовокупить к нему начальное условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 20:01 


02/02/16
24
oniksofers в сообщении #1372385 писал(а):
Кто вам сказал, что численные оценки помогают сказать, берется интеграл в каких-то спецфункциях или нет?

Я имею в виду, что график хоть как-то может наводить на мысль о поведении функции.

B@R5uk в сообщении #1372389 писал(а):
Что-то какие-то неправильные у вас графики. С ростом $\beta$ значение интеграла будет экспоненциально убывать, как его не крути. У вас же минус под экспонентой.

Вы правы. Потерял знак при замене переменной.
$$
e^{-\beta} \int\limits_{0}^{\infty} e^{-x} \sqrt{(x+\beta)^2+\alpha \beta^2} \;\mathrm{d}x.
$$
Зависимость от $\beta$ такая:
Изображение
B@R5uk в сообщении #1372389 писал(а):
Корень на комплексной плоскости — функция многозначная, так что сразу возникает вопрос: какая именно ветвь вам нужна?

Думаю пока остановиться на вещественной оси.

B@R5uk в сообщении #1372401 писал(а):
...
$$\[I={{e}^{-\beta }}\beta \sqrt{\alpha +1}+\frac{{{e}^{-\beta }}}{\sqrt{\alpha +1}}-\frac{4\alpha }{{{\beta }^{2}}}\frac{{{d}^{2}}I}{d{{\alpha }^{2}}}\]$$

Диффуры решать обычно проще, попробуйте, может чего и выйдет. Не забудьте только присовокупить к нему начальное условие.


Спасибо, попробую покрутить уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение28.01.2019, 20:55 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Что-то как-то странно вы переменную заменяете. Сдвиг — это ерунда. Вот так лучше: $x=\beta t$. Тогда под корнем только один параметр остаётся, в то время как из-под предела параметр тоже уходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение04.02.2019, 13:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Если понимать задачу буквально, то вообще никаких замен не нужно -- запись бессмысленна. Какая разница: $\alpha\beta^2$ или просто $\alpha$?... Смысл в параметре $\beta$ появляется лишь в том случае, когда по нему нужна асимптотика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение04.02.2019, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Tell Wilhelm
А к чему этот, не выражающийся разумно через параметры, интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с корнем и экспонентой
Сообщение04.02.2019, 21:20 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
alcoholist в сообщении #1374059 писал(а):
А к чему этот, не выражающийся разумно через параметры, интеграл?

Присоединяюсь к вопросу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey zhukov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group