Интеграл с корнем и экспонентой

[Tell Wilhelm]

Здравствуйте. Пытаюсь вычислить следующий интеграл.

$$ \int\limits_{\beta}^{\infty} \sqrt{x^2+\alpha \beta^2} e^{-x} \;\mathrm{d}x $$

Здесь $\beta\ge0$, в общем случае $\alpha \in \mathbb{C}$. Пытаюсь решить хотя бы для $\alpha \in \mathbb{R}_{+}$.

Заменой можно убрать параметр из пределов. Пробовал различные подстановки, пробовал брать по частям, перелистал всего Градштейна-Рыжика, но так и не справился.

Не могли бы вы подсказать с какой стороны подобраться к решению? Спасибо.

[Ms-dos4]

Tell Wilhelm
А почему вы считаете, что данный интеграл выражается через широко-используемые спецфункции?

[Tell Wilhelm]

Ms-dos4 в сообщении #1372332 писал(а):

Tell Wilhelm
А почему вы считаете, что данный интеграл выражается через широко-используемые спецфункции?

Я об этом не знаю, но не могу утверждать и об обратном. По численным оценкам интеграла трудности не ожидаются.

[oniksofers]

Tell Wilhelm в сообщении #1372371 писал(а):

По численным оценкам интеграла трудности не ожидаются.

Кто вам сказал, что численные оценки помогают сказать, берется интеграл в каких-то спецфункциях или нет?

[B@R5uk]

Что-то какие-то неправильные у вас графики. С ростом $\beta$ значение интеграла будет экспоненциально убывать, как его не крути. У вас же минус под экспонентой.

-- 28.01.2019, 13:10 --

Tell Wilhelm в сообщении #1372330 писал(а):

Заменой можно убрать параметр из пределов.

Это надо было сделать в первую очередь и привести сюда то, что получилось (сразу отбросив не вызывающий затруднений множитель).

-- 28.01.2019, 13:12 --

Tell Wilhelm в сообщении #1372330 писал(а):

в общем случае $\alpha \in \mathbb{C}$. Пытаюсь решить хотя бы для $\alpha \in \mathbb{R}_{+}$.

Корень на комплексной плоскости — функция многозначная, так что сразу возникает вопрос: какая именно ветвь вам нужна?

[B@R5uk]

Если взять вторую производную интеграла по параметру $\alpha$ и проинтегрировать его по частям два раза, то можно получить такое вот дифференциальное уравнение:

$$\[I={{e}^{-\beta }}\beta \sqrt{\alpha +1}+\frac{{{e}^{-\beta }}}{\sqrt{\alpha +1}}-\frac{4\alpha }{{{\beta }^{2}}}\frac{{{d}^{2}}I}{d{{\alpha }^{2}}}\]$$

Диффуры решать обычно проще, попробуйте, может чего и выйдет. Не забудьте только присовокупить к нему начальное условие.

[Tell Wilhelm]

oniksofers в сообщении #1372385 писал(а):

Кто вам сказал, что численные оценки помогают сказать, берется интеграл в каких-то спецфункциях или нет?

Я имею в виду, что график хоть как-то может наводить на мысль о поведении функции.

B@R5uk в сообщении #1372389 писал(а):

Что-то какие-то неправильные у вас графики. С ростом $\beta$ значение интеграла будет экспоненциально убывать, как его не крути. У вас же минус под экспонентой.

Вы правы. Потерял знак при замене переменной.

$$ e^{-\beta} \int\limits_{0}^{\infty} e^{-x} \sqrt{(x+\beta)^2+\alpha \beta^2} \;\mathrm{d}x. $$

Зависимость от $\beta$ такая:

B@R5uk в сообщении #1372389 писал(а):

Корень на комплексной плоскости — функция многозначная, так что сразу возникает вопрос: какая именно ветвь вам нужна?

Думаю пока остановиться на вещественной оси.

B@R5uk в сообщении #1372401 писал(а):

...

$$\[I={{e}^{-\beta }}\beta \sqrt{\alpha +1}+\frac{{{e}^{-\beta }}}{\sqrt{\alpha +1}}-\frac{4\alpha }{{{\beta }^{2}}}\frac{{{d}^{2}}I}{d{{\alpha }^{2}}}\]$$

Диффуры решать обычно проще, попробуйте, может чего и выйдет. Не забудьте только присовокупить к нему начальное условие.

Спасибо, попробую покрутить уравнение.

[B@R5uk]

Что-то как-то странно вы переменную заменяете. Сдвиг — это ерунда. Вот так лучше: $x=\beta t$. Тогда под корнем только один параметр остаётся, в то время как из-под предела параметр тоже уходит.

[ewert]

Если понимать задачу буквально, то вообще никаких замен не нужно -- запись бессмысленна. Какая разница: $\alpha\beta^2$ или просто $\alpha$?... Смысл в параметре $\beta$ появляется лишь в том случае, когда по нему нужна асимптотика.

[alcoholist]

Tell Wilhelm
А к чему этот, не выражающийся разумно через параметры, интеграл?

[Igrickiy(senior)]

alcoholist в сообщении #1374059 писал(а):

А к чему этот, не выражающийся разумно через параметры, интеграл?

Присоединяюсь к вопросу.