Условный экстремум

[MestnyBomzh]

Столкнулся со следующей задачей:
Найти наименьшее значение функции $f = 2x-3y+6z+5$ на множестве $\varphi : x^2+y^2+z^2=4$
1) Нашел подозрительные точки: $x=\frac{1}{\lambda},x=\frac{-3}{2\lambda}, x=\frac{3}{\lambda}, \lambda=\pm \frac{7}{4}$
2) Далее составляю окаймленный Гессиан:

$$ \det \begin{pmatrix} 0& 2x &2y &2z \\ 2x& -2 \lambda &0 &0 \\ 2y&0 & -2 \lambda & 0\\ 2z &0 &0 & -2 \lambda \end{pmatrix}$$

Считаю определитель, получается: $4\lambda^2(-4x^2-4y^2-4z^2)$ что всегда меньше нуля. Получается, что обе подозрительные точки - это локальные минимумы? Я почти уверен, что это не может быть правдой, учитывая то, что $f$ - плоскость, а $\varphi$ - шар
Подскажите где ошибка?

[Aritaborian]

$\varphi$ не шар, а сфера. Это ж не неравенство, это уравнение. (Честно скажу, что на решение задачи это может никак не влиять, я вообще в суть не вникал, просто прицепился к неточной формулировке, которая задела взгляд.)

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1372006 писал(а):

составляю окаймленный Гессиан:

А обычный чем не устраивает? И ответ сразу даёт.

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1372011 писал(а):

И ответ сразу даёт.

я как-то не сразу вижу ответ из него. Надо как-то поработать с диагональю?

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1372015 писал(а):

Надо как-то поработать с диагональю?

Шутить изволите? По критерию Сильвестра всё получается. Или Вы лямбды подставлять забываете?

-- 26.01.2019, 19:47 --

Причём даже на касательные вектора смотреть не нужно.

[MestnyBomzh]

thething
А разве в таких задачах можно применять критерий Сильвестра? Я читаю информацию вот тут:
https://math1.ru/education/funct_sev_var/lagranj.html
И тут написано, что для условного экстремума составляется окаймленный Гессиан, после чего смотрится его знак, то есть никакого критерия Сильвестра
В задачах условной оптимизации можно тоже применять критерий Сильвестра? Тогда лямбда считается за ещё одну переменную?

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #1372023 писал(а):

Тогда лямбда считается за ещё одну переменную?

Она всегда считается за ещё одну переменную.

[thething]

Цитата:

А разве в таких задачах можно применять критерий Сильвестра?

Можно, только аккуратно. Условие второго порядка надо проверять не на всех векторах, а только на касательных, т.е. тех, для которых $F'(a)x=0$, где $F(x)$ -- система ограничений, $a$ -- подозрительная точка. В Вашем же случае сама матрица Гессе получается изначально знакоопределенной и касательные вектора ни к чему (можно, конечно, их рассмотреть, но никакой дополнительной информации они не принесут). В общем случае надобно рассмотреть квадратичную форму $xAx^T$, где $x$ -- касательный вектор, $A$ -- матрица Гессе и именно эту форму исследовать на знакоопределённость. При этом подставлять лямбды. Может, это и есть тот окаймлённый Гессиан, просто я про такое не слыхал.

[MestnyBomzh]

Да, но тут первый же угловой минор равен нулю

[thething]

Где? Приведите, пожалуйста матрицу Гессе.

-- 26.01.2019, 20:17 --

Кажется, я понял, Вы ещё и по $\lambda$ дифференцируете. В том, о чём я говорю, так делать не надо, $\lambda$ играет роль параметра, а матрица получается размера 3 на 3.

[StaticZero]

(Как можно было себя проверить)

MestnyBomzh
Уравнение плоскости $\mathbf n (\mathbf r - \mathbf r_0) = 0$, где $\mathbf r_0$ --- какая-нибудь точка на плоскости (этой точкой она выделяется однозначно из всего семейства параллельных плоскостей). Без потери общности считаем, что $\mathbf r_0 \parallel \mathbf n$ (тогда $r_0$ есть расстояние до этой плоскости).

Раскроем теперь это равенство: $\mathbf n \mathbf r = \mathbf n \mathbf r_0 = \frac{f - 5}{7}$. Теперь вы говорите: ограничим себя точками с $r = 2$. Каково экстремальное значение $f$? В такой постановке очевидно: когда $\mathbf n \uparrow \downarrow \mathbf r$ и $\mathbf n \uparrow \uparrow \mathbf r$. Но тогда $\mathbf r = \mathbf r_0$ в силу выбора $\mathbf r_0$. Тогда очевидно, что эти плоскости касательны к сфере, правда, разница между ними в том, что в одном случае нормаль, торчащая из сферы, противоположна нормали плоскости, а в другом случае сонаправлена, соответствующие случаи доставляют $f$ минимум и максимум.

[Null]

Тут проблема в том что для больше чем 2 переменных условия на матрицу сложнее, и в случае 3(или любого нечетного) переменных и для минимума, и для максимума нужна(но не достаточна) положительность определителя.

[Red_Herring]

MestnyBomzh в сообщении #1372006 писал(а):

Получается, что обе подозрительные точки - это локальные минимумы?

Нет, получается что эти две точки локальные экстремумы, а не седла. А смотреть надо на знак квадратичной формы, а не определителя

[teleglaz]

MestnyBomzh в сообщении #1372006 писал(а):

Нашел подозрительные точки:

Это неправильно. Но это пока ни на что не влияет. Это на конечный ответ повлияет.

MestnyBomzh в сообщении #1372006 писал(а):

Далее составляю окаймленный Гессиан:

Это тоже неправильно. А это уже критично.
Функцию Лагранжа приведите на всякий случай.

MestnyBomzh в сообщении #1372006 писал(а):

Подскажите где ошибка?

В неправильном использовании алгоритма, изложенного в вашем источнике.

MestnyBomzh в сообщении #1372023 писал(а):

тут написано, что для условного экстремума составляется окаймленный Гессиан, после чего смотрится его знак

Это для случая двух переменных. А для большего числа переменных чуть более сложное правило. Вниз промотайте. Там всё написано. Но сначала с матрицей Гессе функции Лагранжа разберитесь.

[MestnyBomzh]

teleglaz в сообщении #1372216 писал(а):

Это для случая двух переменных. А для большего числа переменных чуть более сложное правило. Вниз промотайте. Там всё написано

Да, действительно Вы правы.

teleglaz в сообщении #1372216 писал(а):

Функцию Лагранжа приведите на всякий случай.

Функция Лагранжа:
$f = 2x-3y+6z+5 + \lambda (x^2+y^2+z^2-4)$

А проблема с матрицей Гессе в том, что на диагонали будут $2 \lambda$ вместо $-2 \lambda$?