Сколько треугольников можно построить?

[Ktina]

Даны три точки, расстояния между которыми равны 4, 6 и 7. Сколько существует попарно не равных друг другу треугольников, для которых каждая из этих точек — либо вершина, либо середина стороны?

[mihiv]

Пусть $a=7, b=6, c=4,$углы противолежащие этим сторонам обозначим: $\alpha ,\beta, \gamma $. Все углы этого треугольника острые. Далее будем обозначать конкретный треугольник двумя его сторонами и углом между ними, например, исходный треугольник можно обозначить как:$(a, b, \gamma )$ или $b, c, \alpha $.

1) Можно построить один треугольник с вершинами в трех данных точках: $(a, b, \gamma )$. Площадь этого треугольника $S$.

2)Выберем две точки в качестве вершин, а третью точку в качестве середины стороны. При каждом таком выборе можно построить два треугольника. А т.к. две точки можно выбрать тремя способами, то получим всего 6 треугольников. Выпишем для примера 2: $(a, 2c, \beta ), (a, 2b, \gamma )$Площадь каждого из них $2S$.

3) Выберем одну точку в качестве вершины и две как середины сторон. В этом случае можно построить уже три треугольника. Например, если за вершину треугольника взять вершину угла $\alpha $, то построятся такие треугольники: $(2b, 2c, \alpha ), (2c, 2a, \pi-\beta ), (2b, 2a, \pi -\gamma )$. Так как вершину можно выбрать тремя способами, то всего будет 9 треугольников, площадь
каждого -$4S$.

4)И, наконец, примем, что все три точки - середины сторон. Получим один треугольник :$(2b, 2c, \alpha )$ площадью $4S$.

Сравнивать между собой нужно треугольники одинаковой площади. В 2) все 6 треугольников различны. В 3) три треугольника равны треугольнику из 4). Это треугольники $(2b, 2c, \alpha )$, оставшиеся 6 разбиваются на три пары. В каждой паре треугольники равны. Итого в 3) остается 3 различных треугольника. Таким образом всего треугольников: 1+6+3+1=11.

[Ktina]

mihiv
Большое спасибо!