2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько треугольников можно построить?
Сообщение23.01.2019, 10:56 
Аватара пользователя


01/12/11
8403
Даны три точки, расстояния между которыми равны 4, 6 и 7. Сколько существует попарно не равных друг другу треугольников, для которых каждая из этих точек — либо вершина, либо середина стороны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно построить?
Сообщение26.01.2019, 13:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1340
москва
Пусть $a=7, b=6, c=4,$углы противолежащие этим сторонам обозначим: $\alpha ,\beta, \gamma $. Все углы этого треугольника острые. Далее будем обозначать конкретный треугольник двумя его сторонами и углом между ними, например, исходный треугольник можно обозначить как:$(a, b, \gamma )$ или $b, c, \alpha $.

1) Можно построить один треугольник с вершинами в трех данных точках: $(a, b, \gamma )$. Площадь этого треугольника $S$.

2)Выберем две точки в качестве вершин, а третью точку в качестве середины стороны. При каждом таком выборе можно построить два треугольника. А т.к. две точки можно выбрать тремя способами, то получим всего 6 треугольников. Выпишем для примера 2: $(a, 2c, \beta ), (a, 2b, \gamma )$Площадь каждого из них $2S$.

3) Выберем одну точку в качестве вершины и две как середины сторон. В этом случае можно построить уже три треугольника. Например, если за вершину треугольника взять вершину угла $\alpha $, то построятся такие треугольники: $(2b, 2c, \alpha ), (2c, 2a, \pi-\beta ), (2b, 2a, \pi -\gamma )$. Так как вершину можно выбрать тремя способами, то всего будет 9 треугольников, площадь
каждого -$4S$.

4)И, наконец, примем, что все три точки - середины сторон. Получим один треугольник :$(2b, 2c, \alpha )$ площадью $4S$.

Сравнивать между собой нужно треугольники одинаковой площади. В 2) все 6 треугольников различны. В 3) три треугольника равны треугольнику из 4). Это треугольники $(2b, 2c, \alpha )$, оставшиеся 6 разбиваются на три пары. В каждой паре треугольники равны. Итого в 3) остается 3 различных треугольника. Таким образом всего треугольников: 1+6+3+1=11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно построить?
Сообщение26.01.2019, 16:16 
Аватара пользователя


01/12/11
8403
mihiv
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group