2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Степень с целым показателем.
Сообщение26.01.2019, 00:20 


24/01/19
54
Пусть определена степень с натуральным показателем, все ее свойства считаем известными. Определим степень с произвольным целым показателем для произвольного основания a $\ne$ 0. Пусть $a^0$ $=$ 1. Определим $a^{-n}$ $=$ $\frac{1}{a^{n}}$, где n - натуральное число. При таком определении сохраняются все привычные свойства степени с натуральным показателем (произведение/частное степеней с одинаковым основанием, степень в степени, степень произведения/частного). Докажем, например, свойство степени в степени ($m$ и $n$ - целые).

Доказать: $(a^{n})^{m}$ $=$ $a^{n}^{m}$
Рассмотрим 9 случаев :D.

1. $n$ $\in$ $\mathbb{N}$; $m$ $\in$ $\mathbb{N}$
Для натуральных показателей данное свойство выполняется (свойства натуральных степеней считаем доказанными)

2. $n$ $=$ 0; $m$ $\in$ $\mathbb{N}$
$(a^{n})^{m}$ $=$ $1^{m}$ $=$ 1 $=$ $1^{0}$ $=$ $1^{0m}$

3. $n$ $\in$ $\mathbb{N}$; $m$ $=$ 0
4. $n$ $=$ 0; $m$ $=$ 0
5. $n$ $=$ 0; $m$ $<$ 0
6. $n$ $<$ 0; $m$ $=$ 0
7. $n$ $<$ 0; $m$ $\in$ $\mathbb{N}$
8. $n$ $\in$ $\mathbb{N}$; $m$ $<$ 0
9. $n$ $<$ 0; $m$ $<$ 0

Я полагаю доказательства для случаев 3-9 вы при необходимости восстановите :-). Подводим итоги: имеем 5 основных свойств, 9 вариантов для каждого надо перебрать, итого 45 цепочек доказательств придется произвести для того, чтобы убедится в справедливости свойств степени с целым показателем. Уточняю, что дробных и вещественных степеней, а тем более экспоненты и логарифма пока нету.

Все написанное выше - примерно то, что происходит в голове восьмиклассника, когда он изучает эту тему. Но мы же с вами восьмой класс уже закончили, верно :-).

Если серьезно, то однажды видел книжку, где автор утверждал, что все свойства степеней с целыми показателями можно доказать чуть ли не в одну строчку "средствами алгебры" (имелось в виду высшей). Мне очень любопытно, о каком таком доказательстве идет речь и существует ли оно вообще. К сожалению, ни автора, ни название книжки привести не могу (давно это было). Интересно, существует ли короткое, принципиально отличающееся от такого вот перебора , доказательство свойств степеней с целым показателем.


(Оффтоп)

Долго думал, где тему создать - в ПРР или в юморе. Решил здесь. Заранее извиняюсь перед админами и за обилие смайликов, просто настроение хорошее :-)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.01.2019, 00:28 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.01.2019, 01:36 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень с целым показателем.
Сообщение26.01.2019, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
project15 в сообщении #1371861 писал(а):
Пусть определена степень с натуральным показателем, все ее свойства считаем известными. Определим степень с произвольным целым показателем для произвольного основания a $\ne$ 0. Пусть $a^0$ $=$ 1. Определим $a^{-n}$ $=$ $\frac{1}{a^{n}}$, где n - натуральное число. При таком определении сохраняются все привычные свойства степени с натуральным показателем (произведение/частное степеней с одинаковым основанием, степень в степени, степень произведения/частного).

Это над любым кольцом, что ли? А как насчёт некоммутативных? В которых $a^n\backslash 1\ne 1/a^n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень с целым показателем.
Сообщение26.01.2019, 02:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
Да тут кольца не надо, группы достаточно. А в ней достаточно рассмотреть порожденную $a$ подгруппу, которая коммутативна.
(кроме произведения степеней - в некоммутативном случае $(ab)^2$ не обязано быть равно $a^2 b^2$)
Munin в сообщении #1371875 писал(а):
В которых $a^n\backslash 1\ne 1/a^n.$
А что такое $x \backslash y$ здесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень с целым показателем.
Сообщение26.01.2019, 03:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
$x^{-1}y.$ Разумеется, когда существует.

Да, с единицей я сгорбил :-)

-- 26.01.2019 03:17:02 --

Дело-то в том, что кольцо не обязательно группа по умножению :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group