Пусть определена степень с натуральным показателем, все ее свойства считаем известными. Определим степень с произвольным целым показателем для произвольного основания a
0. Пусть
1. Определим
, где n - натуральное число. При таком определении сохраняются все привычные свойства степени с натуральным показателем (произведение/частное степеней с одинаковым основанием, степень в степени, степень произведения/частного). Докажем, например, свойство степени в степени (
и
- целые).
Доказать:
Рассмотрим 9 случаев
.
1.
;
Для натуральных показателей данное свойство выполняется (свойства натуральных степеней считаем доказанными)
2.
0;
1
3.
;
0
4.
0;
0
5.
0;
0
6.
0;
0
7.
0;
8.
;
0
9.
0;
0
Я полагаю доказательства для случаев 3-9 вы при необходимости восстановите
. Подводим итоги: имеем 5 основных свойств, 9 вариантов для каждого надо перебрать, итого 45 цепочек доказательств придется произвести для того, чтобы убедится в справедливости свойств степени с целым показателем. Уточняю, что дробных и вещественных степеней, а тем более экспоненты и логарифма пока нету.
Все написанное выше - примерно то, что происходит в голове восьмиклассника, когда он изучает эту тему. Но мы же с вами восьмой класс уже закончили, верно
.
Если серьезно, то однажды видел книжку, где автор утверждал, что все свойства степеней с целыми показателями можно доказать чуть ли не в одну строчку "средствами алгебры" (имелось в виду высшей). Мне очень любопытно, о каком таком доказательстве идет речь и существует ли оно вообще. К сожалению, ни автора, ни название книжки привести не могу (давно это было). Интересно, существует ли короткое, принципиально отличающееся от такого вот перебора , доказательство свойств степеней с целым показателем.
(Оффтоп)
Долго думал, где тему создать - в ПРР или в юморе. Решил здесь. Заранее извиняюсь перед админами и за обилие смайликов, просто настроение хорошее