Полиномиальная интерполяция многомерных отображений

[pawel910]

Здравствуйте. У меня такая задача. Даны точки $x_i\in\mathbb{R}^n$, $y_i\in\mathbb{R}^m$, $i=\overline{1,l}$. Требуется построить по этим данным интерполяционный многомерный (векторный) полином многих переменных $P:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, т.е. $P(x_i)=y_i$, $i=\overline{1,l}$.

Я стал искать отображение $P$ в виде

$$ P(x)=\sum_{j=1}^{l}\varphi_j(x)y_j=\varphi_1(x)y_1+\varphi_2(x)y_2+\ldots+\varphi_l(x)y_l, $$

где функции $\varphi_j:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $j=\overline{1,l}$, должны удовлетворять условиям $\varphi_j(x_i)=\delta_{ij}$, $i=\overline{1,l}$, $i=\overline{1,l}$, где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера.

Действительно,

$$ P(x_i)=\sum_{j=1}^{l}\varphi_j(x_i)y_j=\sum_{j=1}^{l}\delta_{ij}y_j=y_i, \quad i=\overline{1,l}. $$

Я долго думал, как придумать функции $\varphi_j$. По аналогии с интерполяционным полиномом Лагранжа одной переменной, я придумал такое выражение (скобки означают скалярное произведение):

$$ \varphi_j(x)=\prod_{k=1 \atop k\neq j}^{l}\frac{(x-x_k, x_j-x_k)}{\|x_j-x_k\|^2}. $$

Действительно, тогда условия $\varphi_j(x_i)=\delta_{ij}$, $i=\overline{1,l}$, $i=\overline{1,l}$ выполнены.

Как я вижу, степень построенного полинома многих переменных $P$ равна $l-1$, то есть это полином минимально возможной степени для данных, состоящих из $l$ точек.

Имеет ли право такая конструкция на существование? Изложена ли она в каких-то учебниках? Я не смог найти. Если Вы знаете, скиньте, пожалуйста, ссылки. Какие есть более адекватные конструкции для решения такой задачи? Заранее благодарю.

[worm2]

Интересная конструкция. Хотя бы потому, что, несмотря на свою простоту, действительно, в учебниках найти её не удаётся.

pawel910 в сообщении #1371370 писал(а):

степень построенного полинома многих переменных $P$ равна $l-1$, то есть это полином минимально возможной степени для данных, состоящих из $l$ точек.

В многомерном случае это не всегда так. Например, для трёх точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, легко строится многочлен первой степени, равный 1 в одной точке и 0 в двух остальных. Если же они лежат на одной прямой, то многочлену требуется вторая степень, однако он такой не будет единственным. Т.е. свойства минимальности степени и единственности тут теряются.

[pawel910]

pawel910 в сообщении #1371370 писал(а):

По аналогии с интерполяционным полиномом Лагранжа одной переменной, я придумал такое выражение (скобки означают скалярное произведение):

$$ \varphi_j(x)=\prod_{k=1 \atop k\neq j}^{l}\frac{(x-x_k, x_j-x_k)}{\|x_j-x_k\|^2}. $$

Действительно, тогда условия $\varphi_j(x_i)=\delta_{ij}$, $i=\overline{1,l}$, $i=\overline{1,l}$ выполнены.

В качестве функций $\varphi_j$ можно ещё предложить функции

$$ \varphi_j(x)=\prod_{k=1 \atop k\neq j}^{l}\frac{\|x-x_k\|^2}{\|x_j-x_k\|^2}. $$

[StaticZero]

А вы численно считали что-нибудь с этими конструкциями? Можно начать с $\mathbb R \mapsto \mathbb R^2$. Или если не хотите вырожденных конструкций, $\mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2$ или $\mapsto \mathbb R^3$. Можно было бы посмотреть, меняется ли что-нибудь существенно от смены представления.

Интересно, действительно, жаль времени нет посмотреть, в чём там фишка. Я ещё видел, что многочлены Лагранжа в одномерном случае не масштабируются (при добавлении точек надо всё пересчитать). Можно ли построить аналог многочленов Ньютона?