Пусть собственное значение
-кратно вырождено, т.е.
, где
и
. Из коммутирования операторов
. Cравнивая c (1)
. Таким образом
- тоже собственная функция
c cобственным значением
и есть линейная комбинация функций
, т.е.
c коэффициентами
. Далее обязательно нужно провести ортогонализацию. Для вырожденных собственных функций можно брать за основу ортогонализацию Шмидта, но как построить в этом случае доказательство? Для эрмитовской матрицы
диагонализация проще осуществляется с помощью унитарного преобразования
:
, где
. Отсюда сразу имеем
или покомпонентно
и
. Это значит, что
-тый вектор-столбец матрицы
является собственным вектором матрицы
c собственным значением
. Домножим (2) на
и используем предпоследнее соотношение:
. Линейные комбинации вырожденных собственных функций
представляют собственные функции и
, и
. (Cобственные значения
даются с помощью диагональных элементов
диагональной матрицы
.) Если операторы имеют совместную систему собственных функций, то соответствующие операторы коммутируют, а соответствующие им величины измеряются экспериментально одновременно. Только в этом случае доказательство получается в обратную сторону, но оно справедливо в обе стороны.
(Честно сказать, я думаю, что в книгах по операторам эта теорема приводится, и может даже совсем с другим доказательством. В случае ортогонализации Шмидта для вырожденных функций
вместо диагонализации матрицы
и таким образом определяющей унитарную матрицу
проводят пошаговую ортогонализацию системы вырожденных, но линейно независимых собственных функций. Может даже есть в книге Ливщица "Операторы (или что в таком роде)").