Коммутирование операторов в квантовой физике

[usualis]

privet vsem
vopros sledujushij
nuzhno dokazatj, chto esli dva operator kommutirujut [A,B]=AB-BA=0 , to oda eti operatora izmerimq
zhelateljno s primerom
zaranee blagodarju

[LynxGAV]

$[\hat A, \hat B]=0$, то есть $\hat A \hat B =\hat B \hat A$. Пусть $\psi_n$ cобственные функции, a $a_n$ - cобственные значения оператора $\hat A$: $\hat A \psi_n = a_n \psi_n$. Рассмотрим: $\hat A \hat B \psi_n = \hat B \hat A \psi_n = a_n \hat B \psi_n$, c другой стороны имеем $\hat A (\hat B \psi_n) = a_n (\hat B \psi_n)$ или, вводя новое обозначение $\hat A \tilde \psi_n = a_n \tilde \psi_n$, поэтому $\tilde \psi_n \sim \psi_n \; =>\; \tilde \psi_n =b_n \psi_n$ и $\hat B \psi_n=b_n \psi_n$. Рассмотрим среднее произведения $<\hat A \hat B>=(\psi_n, \hat A \hat B \psi_n)=a_n b_n$ и $<\hat B \hat A>=(\psi_n, \hat B \hat A \psi_n)=a_n b_n$ -- меряем одновременно. Примеры коммутаторов поищите в книге (любой по квантовой механике). Если не найдете, то оператор коммутирует с любой степенью самого себя.

[Munin]

А если a_n не все различны (вырождение)?

[LynxGAV]

Тогда собственные функции $\{\psi_n\}$ могут оказаться не ортогональными и надо выбирать подпространство гильбертова пространства $\mathcal H$, где они ортогональны и далее по накатанной схемке.

[Someone]

LynxGAV писал(а):

Тогда собственные функции $\{\psi_n\}$ могут оказаться не ортогональными и надо выбирать подпространство гильбертова пространства $\mathcal H$, где они ортогональны и далее по накатанной схемке.

А процедура ортогонализации на что?

[LynxGAV]

При доказательстве или зачем нам вообще ортогональность?

Не ортогональные функции нас не интересуют в любом случае.

[LynxGAV]

Похоже я поспешила, операторы могут быть некоммутативными, но ортогонализация нужна всегда, потому что тогда суперпозиция функций теряет смысл (а это основное положение квантовой механики).

[LynxGAV]

Пусть собственное значение $a$ $m$-кратно вырождено, т.е. $\hat A \psi_j=a\psi_j \; (1)$, где $j=1, ... , m$ и $(\psi_j, \psi_k)=\delta_{jk}$. Из коммутирования операторов $\hat A \hat B \psi_j = \hat B \hat A \psi_j$. Cравнивая c (1) $\hat A (\hat B \psi_j) = a (\hat B \psi_j)$. Таким образом $\hat B \psi_j$ - тоже собственная функция $\hat A$ c cобственным значением $a$ и есть линейная комбинация функций $\psi_j$, т.е. $\hat B \psi_j = \sum \limits_k C_{jk}\psi_k \; (2)$ c коэффициентами $C_{jk}=(\psi_k, \hat B \psi_j)=C_{kj}^{*}$. Далее обязательно нужно провести ортогонализацию. Для вырожденных собственных функций можно брать за основу ортогонализацию Шмидта, но как построить в этом случае доказательство? Для эрмитовской матрицы $(C_{jk})$ диагонализация проще осуществляется с помощью унитарного преобразования $U$: $U^{+} CU = C_D$, где $U^{+}U=UU^{+}=1$. Отсюда сразу имеем $CU=UC_D$ или покомпонентно $\sum\limits_j C_{ij} U_{jk}=U_{ik}C_{Dk}$ и $\sum\limits_i U_{ir}^{*}C_{ik}=C_{Dr}U_{kr}^{*}$. Это значит, что $k$-тый вектор-столбец матрицы $U$
$\left( \begin{array}{ccc} U_{1k} \\ U_{2k} \\ \hdots \\ U_{mk} \end{array} \right)$ является собственным вектором матрицы $C$ c собственным значением $C_{Dk}$. Домножим (2) на $U_{jr}^{*}$ и используем предпоследнее соотношение: $\sum\limits_j \hat B U_{jr}^{*} \psi_j = \sum\limits_{j,k} U_{jr}^{*} C_{jk}\psi_k = \sum\limits_k C_{Dr}U_{kr}^{*}\psi_k$. Линейные комбинации вырожденных собственных функций $\psi_k$ $\phi_r = \sum\limits_k U_{kr}^{*}\psi_k$ представляют собственные функции и $\hat A$, и $\hat B$. (Cобственные значения $\hat B$ даются с помощью диагональных элементов $C_{Dr}$ диагональной матрицы $C_D$.) Если операторы имеют совместную систему собственных функций, то соответствующие операторы коммутируют, а соответствующие им величины измеряются экспериментально одновременно. Только в этом случае доказательство получается в обратную сторону, но оно справедливо в обе стороны.
(Честно сказать, я думаю, что в книгах по операторам эта теорема приводится, и может даже совсем с другим доказательством. В случае ортогонализации Шмидта для вырожденных функций $\{\psi_n\}$ вместо диагонализации матрицы $C$ и таким образом определяющей унитарную матрицу $U$ проводят пошаговую ортогонализацию системы вырожденных, но линейно независимых собственных функций. Может даже есть в книге Ливщица "Операторы (или что в таком роде)").