2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Минимизация выражения
Сообщение21.01.2019, 18:07 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
Найти минимальное (в общем случае инфимум) значение выражения $f(t_1)f(t_2)f(t_3)...f(t_n)$, где $t_1+t_2+t_3+...t_n=T$
1.Для начала пусть $f(t)$ будут равны
а) $f(t)=\frac{1+e^{-kt}}{2}$
б) $f(t)=e^{-\sqrt{kt+1}+1}$
$T$-фиксировано
2. Найти решение в случае $f(t)$ общего вида, которая равна единице в нуле и монотонно убывает до нуля на бесконечности

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 19:43 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
Почему никого не заинтересовала задача, ведь довольно красивая :-)
Непонятно условие? Или непонятно как решать? Могу дать подсказку :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 19:55 
Аватара пользователя


22/06/12
1357
Я про призму ничерта не понял, если честно. А потом не понял, как это
Sicker в сообщении #1370567 писал(а):
найти минимальное (в общем случае инфимум) значение выражения $f(t_1)f(t_2)f(t_3)...f(t_n)$, где $t_1+t_2+t_3+...t_n=T$

согласуется с исходной задачей, которую я не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 20:06 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
StaticZero в сообщении #1371221 писал(а):
Я про призму ничерта не понял, если честно. А потом не понял, как это

Ну представьте себе, что вам нужно по-максимуму увеличить какую-то область при помощи микроскопа, и у него увеличительная способность неэкспоненциально зависит от времени. Вот как вам его оптимально использовать :-)
StaticZero в сообщении #1371221 писал(а):
найти минимальное (в общем случае инфимум) значение выражения $f(t_1)f(t_2)f(t_3)...f(t_n)$, где $t_1+t_2+t_3+...t_n=T$

согласуется с исходной задачей, которую я не понял.

Ну это собственно результат последовательных увеличений, и отпущенное на них время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 20:15 
Аватара пользователя


22/06/12
1357
Окей. Тогда я вижу так: имеется стрелочка высоты единица. Применяется первый режим микроскопа и видимая в микроскопе высота стрелочки будет $f_1(t)$. Потом мы что, при $t = t_1$ фиксируем результат и применяем второй режим так, что высота стрелочки будет $f_2(t) f_1(t_1)$, так что ли?

-- 23.01.2019 в 20:26 --

Если я правильно понял, то это какая-то физически непонятная задача. А если оставить только математическую постановку "найти $f(t)$ и набор $t_1, t_2, \ldots, t_n$, максимизирующие $f(t_1) f(t_2) \ldots f(t_n)$ при наложенном ограничении $\sum t_i = T$", то чем это отличается в сторону олимпиадности от какого-то хитрого вариационного занудства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 20:36 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
StaticZero в сообщении #1371233 писал(а):
Окей. Тогда я вижу так: имеется стрелочка высоты единица. Применяется первый режим микроскопа и видимая в микроскопе высота стрелочки будет $f_1(t)$. Потом мы что, при $t = t_1$ фиксируем результат и применяем второй режим так, что высота стрелочки будет $f_2(t) f_1(t_1)$, так что ли?

Да, только там везде обратные $f$, т.е. $f$ -это размер стрелочки, которая после увеличения станет единичной :-)
StaticZero в сообщении #1371233 писал(а):
Если я правильно понял, то это какая-то физически непонятная задача.

Ну почему. Это чем-то напоминает например ступенчатую реконструкцию праязыков в лингвистике.
StaticZero в сообщении #1371233 писал(а):
А если оставить только математическую постановку "найти $f(t)$ и набор $t_1, t_2, \ldots, t_n$, максимизирующие $f(t_1) f(t_2) \ldots f(t_n)$ при наложенном ограничении $\sum t_i = T$", то чем это отличается в сторону олимпиадности от какого-то хитрого вариационного занудства?

Не совсем, $f(t)$ известна, я же дал целых два примера, а все остальное верно (ну и еще максимум на минимум (инфимум) заменить, исходя из того что я озвучил выше). А чем это отличается от вариационного занудства? Ну тем, что вам $n$ не известно, и т.к. я говорил про инфимум, то $n$ теоретически может стремиться к бесконечности. И даже если вы после варьирования выпишите уравнения, то как вы их будете решать? Это страшно мудреные функциональные уравнения, еще с непостоянным числом членов :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 20:39 
Аватара пользователя


22/06/12
1357
Sicker в сообщении #1371237 писал(а):
Да, только там везде обратные $f$, т.е. $f$ -это размер стрелочки, которая после увеличения станет единичной :-)

Ну то есть тогда $\frac{1}{f(t_1) f(t_2) \ldots f(t_n)}$?

-- 23.01.2019 в 20:40 --

Sicker в сообщении #1371237 писал(а):
$f(t)$ известна

У-у, тогда это просто занудство, даже не вариационное :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 21:00 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
StaticZero в сообщении #1371239 писал(а):
Ну то есть тогда $\frac{1}{f(t_1) f(t_2) \ldots f(t_n)}$?

Ну можете так считать, тогда берите максимумы (супремумы)
StaticZero в сообщении #1371239 писал(а):
У-у, тогда это просто занудство, даже не вариационное :mrgreen:

Ну тогда в противном случае задача бы стала тривиальной :wink:
Ну вы попробуйте, дальше формально выписанных уравнений не продвинетесь :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 21:27 
Аватара пользователя


22/06/12
1357
Да ладно. Рассмотрим произведение $f(t_1) f(t_2)$. Предположим, что $t_1 = t_2 = t$. Пошевелим $t_1 \to t - \delta$, $t_2 \to t + \delta$, запишем разностное соотношение в первом порядке по $f$, получим
$$
f(t - \delta) f(t + \delta) - f^2(t) \approx \left(f - \delta f' \right)\left(f + \delta f' \right) - f^2 = -\delta^2 (f')^2 \leqslant 0.
$$
Если $f$ всё-таки монотонно убывает на $[0, \infty)$, то хоть какая-то нечётная производная должна быть отлична от нуля в $t$ в меньшую сторону. Выписанное соотношение тогда вида не поменяет, только штрихов навесить, да степень нужную, да множитель соответствующий, и тогда знак неравенства станет строгим. А если произведение уменьшается при шевелении в произвольную сторону, значит выгодно $\delta = 0$. Так повторяем для всех членов произведения. Получаем $t_1 = t_2 = \ldots = t_n = T/n$. Произведение сворачивается в трубочку в
$$
f^n\left(\frac{T}{n}\right).
$$
Если $f$ дана, да ещё и с условием $0 < f < 1$ на $(0, \infty)$, то взяв довольно большое $n$, будем иметь
$$
f(x) \approx 1 + \Omega x, \quad \Omega = f'(0) \leqslant 0,
$$
тогда будет
$$
f^n \approx \left(1 + \frac{\Omega T}{n} \right)^n, f^n(T/n) \to \exp(\Omega T).
$$

Пусть $y_n = n \ln f(T/n) = \ln f^n(T/n)$. Хотим определить, может ли быть при конечном $n$ так, что $f^n(T/n) > \exp(\Omega T)$, и если не может, тогда решением будет являться $n = \infty$. Имеем
$$
y_{n+1} - y_n = (n+1) \ln f \left(\frac{T}{n+1}\right) - n \ln f(T/n) = \underbrace{\ln f(T/(n+1))}_{< 0} + \underbrace{n \ln \frac{f(T/(n+1))}{f(T/n)}}_{> 0}
$$
и ничего не запрещает первым членам последовательности $f(T), f^2(T/2), \ldots$ быть больше $\exp(\Omega T)$. Предположим, что $f(T) < \exp(\Omega T)$, или, что то же самое, $f(x) < \exp(\Omega x)$. Тогда $f(x/2) < \exp(\Omega x/2)$, $f^2(x/2) < \exp(\Omega x)$. Продолжая по индукции, осознаем, что в случае $f(x) < e^{\Omega x}$ решением будет $n = \infty$. Если там стоит равенство, то последовательность стационарная и решение будет - любое $n$. Остаётся открытым вопрос о том, что будет, если $f(x) > e^{\Omega x}$. Если $f(x) > e^{\Omega x}$, то тогда все члены будут больше $\exp(\Omega x)$, но какой из них будет самый большой - пёс его знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 22:25 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
StaticZero в сообщении #1371249 писал(а):
Да ладно. Рассмотрим произведение $f(t_1) f(t_2)$. Предположим, что $t_1 = t_2 = t$. Пошевелим $t_1 \to t - \delta$, $t_2 \to t + \delta$, запишем разностное соотношение в первом порядке по $f$, получим
$$
f(t - \delta) f(t + \delta) - f^2(t) \approx \left(f - \delta f' \right)\left(f + \delta f' \right) - f^2 = -\delta^2 (f')^2 \leqslant 0.
$$
Если $f$ всё-таки монотонно убывает на $[0, \infty)$, то хоть какая-то нечётная производная должна быть отлична от нуля в $t$ в меньшую сторону. Выписанное соотношение тогда вида не поменяет, только штрихов навесить, да степень нужную, да множитель соответствующий, и тогда знак неравенства станет строгим. А если произведение уменьшается при шевелении в произвольную сторону, значит выгодно $\delta = 0$. Так повторяем для всех членов произведения.

Ну вообще таки нет, это только для данных частных функций так.
StaticZero в сообщении #1371249 писал(а):
тогда будет
$$
f^n \approx \left(1 + \frac{\Omega T}{n} \right)^n, f^n(T/n) \to \exp(\Omega T).
$$

Да, для данных функций ответ будет экспонента в степени минус производная в нуле от $f$ на $T$
Но в общем случае это не так
StaticZero в сообщении #1371249 писал(а):
Пусть $y_n = n \ln f(T/n) = \ln f^n(T/n)$. Хотим определить, может ли быть при конечном $n$ так, что $f^n(T/n) > \exp(\Omega T)$, и если не может, тогда решением будет являться $n = \infty$. Имеем
$$
y_{n+1} - y_n = (n+1) \ln f \left(\frac{T}{n+1}\right) - n \ln f(T/n) = \underbrace{\ln f(T/(n+1))}_{< 0} + \underbrace{n \ln \frac{f(T/(n+1))}{f(T/n)}}_{> 0}
$$
и ничего не запрещает первым членам последовательности $f(T), f^2(T/2), \ldots$ быть больше $\exp(\Omega T)$. Предположим, что $f(T) < \exp(\Omega T)$, или, что то же самое, $f(x) < \exp(\Omega x)$. Тогда $f(x/2) < \exp(\Omega x/2)$, $f^2(x/2) < \exp(\Omega x)$. Продолжая по индукции, осознаем, что в случае $f(x) < e^{\Omega x}$ решением будет $n = \infty$. Если там стоит равенство, то последовательность стационарная и решение будет - любое $n$. Остаётся открытым вопрос о том, что будет, если $f(x) > e^{\Omega x}$. Если $f(x) > e^{\Omega x}$, то тогда все члены будут больше $\exp(\Omega x)$, но какой из них будет самый большой - пёс его знает.

В этом пес его знает заключен весь смак задачи :-)
Рассмотрите случай, когда $T$ очень велико. Для начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение23.01.2019, 23:31 


05/09/16
5599
Sicker в сообщении #1371215 писал(а):
Непонятно условие?
Ваще нибельмеса непонятно. А что такое "увеличительная призма"? Гугл вот не в курсе. Это для кого олимпиада? Формулировка задачи тяжело больна. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Увеличительная призма
Сообщение24.01.2019, 00:11 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
wrest в сообщении #1371276 писал(а):
А что такое "увеличительная призма"?

Это вольное название автора :-)
wrest в сообщении #1371276 писал(а):
Это для кого олимпиада?

Ни для какого, сам придумал :-)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.01.2019, 16:34 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16837
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
Задачу надо бы сделать либо физической, либо математической. Если она физическая - привести содержание и терминологию в соответствие с реальностью. Если математическая - убрать ненужный (и при этом некорректный) антураж.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.01.2019, 23:10 
Модератор


20/03/14
9251
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: откорректирован стартовый пост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение25.01.2019, 23:19 
Аватара пользователя


13/08/13
3520
StaticZero
wrest
Ну что затихли, товарищи? :-)
Дать еще подсказку?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group