2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение25.01.2019, 23:21 
Модератор


20/03/14
9675
 !  Sicker
Замечание за бессодержательное сообщение. Это не чат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение03.02.2019, 21:31 
Заслуженный участник


10/01/16
1972
Sicker в сообщении #1371840 писал(а):
Дать еще подсказку?

Да не, не надо...
И так же все ясно. Ну, например, для функции $f(x) = e^{-x^2}$: минимум равен, понятно, $e^{-T^2}$ (все - нули, а одно - большое...)

-- 03.02.2019, 23:52 --

Ну, а если серьёзно, то:
Если функция $\varphi = \ln f$ выпуклая вниз (а это как раз задачи а) и б)), то исходная задача -это просто неравенство Йенсена (для фи): аргументы равными надо брать. Если - выпукла вверх - то минимум будет как раз на краю. А если ни то, ни сё - то и будет непонятно что ( зависит от $T$ )....
А увидеть все это довольно легко (после логарифмирования) - составляя функцию Лагранжа: там все сразу и получается, вместе со всеми проблемами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение04.02.2019, 18:04 
Заслуженный участник


10/01/16
1972
Упс: оказывается, $n$ не фиксировано...
Да пофигу: если $f$ логарифмически выпукла (то бишь, ее логарифм выпуклый) вверх, минимум все равно будет при $n=1$.
А вот если - вниз, то дело зависит от того, какова функция $g(x)= \frac{\ln f(x)}{x}$:
если $x_0$ - ее точка минимума на отрезке $[0,T]$, то $n$ надо брать равным $\frac{T}{x_0}$ (почти).
А если выпуклости нет, то все равно будут непонятки....

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение04.02.2019, 19:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
В общем случае это совсем непонятно. Если у lnf одна точка перегиба, то сочетанием Йенсена с Караматой это убивается.
Имеется ещё EV Method Василе Кыртоажэ для такого типа задач, но это работает только если на функцию lnf наложить очень специальные условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение06.02.2019, 02:16 


10/03/16
869

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1373919 писал(а):
неравенство Йенсена


Вроде бы неравенство Йенсена это просто определение выпуклости, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение06.02.2019, 07:47 


07/11/18
58

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1374366 писал(а):
Вроде бы неравенство Йенсена это просто определение выпуклости, нет?

Почти. Если выпуклое множество определить, как множество, которое вместе с набором точек содержит их выпуклую комбинацию, то да. Отсюда следует, что содержит и отрезок соединяющий любые две точки. В обратную сторону, по индукции легко доказать.
Но обычно, множество называют выпуклым, если с любыми двумя точками содержит и отрезок, соединяющий их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение06.02.2019, 11:06 


10/03/16
869

(Оффтоп)

jekylЯ имел в виду выпуклость функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение06.02.2019, 16:45 


07/11/18
58

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1374396 писал(а):
Я имел в виду выпуклость функции

Это без разницы.

Ну а выполнение неравенства Йенсена в качестве определения выпуклой функции это уже сильно, на мой взгляд.
Для непрерывной на $(a,b)$ функции достаточно потребовать, чтобы выполнялось неравенство $f((x+y)/2)\leqslant f(x)/2+f(y)/2$, $x,y\in(a,b)$. Тоже по индукции можно доказать.
По моему, можно даже оставить ограниченность на множестве положительной меры Лебега.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение07.02.2019, 09:01 


16/04/18
169
Можно так: при большом числе среднее геометрическое примерно равно среднему арифметическому, поэтому вместо произведения перейдём к суммам, а тогда задача решается элементарными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация выражения
Сообщение08.02.2019, 21:39 
Заслуженный участник


10/01/16
1972
novichok2018 в сообщении #1374602 писал(а):
Можно так: при большом числе среднее геометрическое примерно равно среднему арифметическому

Так - не надо, ибо неверно это.
novichok2018 в сообщении #1374602 писал(а):
поэтому вместо произведения перейдём к суммам

К суммам можно перейти - как и говорилось выше - логарифмированием.
novichok2018 в сообщении #1374602 писал(а):
тогда задача решается элементарными методами.

Тогда - нет, не решается - без существенных ограничений на функцию, об чем и говорилось двумями...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group