Остаточный член в форме Лагранжа

[yoloven]

Добрый вечер. У меня возникла проблема при оценке количества элементов, которые необходимо взять, чтобы достичь требуемой погрешности. Например, берем функцию $e^x$. Нужно определить до какого элемента достаточно разложить данную функцию в ряд Тейлора, чтобы погрешность вычислений была меньше, чем $10^{-2}$.

Беру остаточный член в форме Лагранжа $r(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$
Предположим, что ищем погрешность в окрестности точки $a=0$ и тогда должно получаться такое неравенство:

$10^{-2}>\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}1^{n+1}$

Преобразуем немного и получим

$(n+1)!>10^{2}e^{\xi}$

И что дальше? Какой брать $\xi$? Подозреваю, что можно написать, что $e^{\xi}<e$ и тогда получаем

$(n+1)!>10^{2}e$

Но насколько верно то, что $e^{\xi}<e$? И верно ли вообще?

И второй вопрос: если буду искать погрешность в окрестности какой-то точки, как это вообще влияет и как посчитать? Не могу сообразить. Просто будет ${(x-a)}^{n+1}$?

[StaticZero]

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):

И что дальше? Какой брать $\xi$

Вот самое время бы задуматься над тем, какой именно $\xi$ в остаточном члене имени Лагранжа фигурирует. В смысле, что говорит теорема на этот счёт.

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):

искать погрешность в окрестности какой-то точки, как это вообще влияет и как посчитать

Да, влияет. Как именно, думаю, станет понятно после ответа на первый вопрос. Подсказка. Чем дальше вы отходите от точки разложения, то, вообще говоря, тем сильнее вы испортите точность. Тем больше надо членов взять.

[yoloven]

StaticZero в сообщении #1371210 писал(а):

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):

И что дальше? Какой брать $\xi$

Вот самое время бы задуматься над тем, какой именно $\xi$ в остаточном члене имени Лагранжа фигурирует. В смысле, что говорит теорема на этот счёт.

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):

искать погрешность в окрестности какой-то точки, как это вообще влияет и как посчитать

Да, влияет. Как именно, думаю, станет понятно после ответа на первый вопрос. Подсказка. Чем дальше вы отходите от точки разложения, то, вообще говоря, тем сильнее вы испортите точность. Тем больше надо членов взять.

В моем случае $a=0$ и тогда эта точка лежит в интервале от 0 до x. Окей, на самом деле мне это не сильно помогло в плане понимания того, какой кси нужно брать (тот факт, что остаточный член мал в окрестности точки $a$ я понимаю, но все равно не могу разобраться)

[Lia]

yoloven в сообщении #1371224 писал(а):

все равно не могу зашарить

Переведите на литературный русский. Тут люди разных поколений, Вы лишаете себя внимания части аудитории.

Это раз.
Два:
Чтобы процитировать часть поста, выделите его мышью и нажмите кнопку "вставка". Избыточное цитирование незачем.

[StaticZero]

yoloven, таким образом, в примере с экспонентой гарантируется, что $1 < e^\xi < e^x$. Вот сюда

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):

$(n+1)!>10^{2}e^{\xi}$

по идее, нужно загружать его наибольшее значение, то есть $(n+1)! > 10^2 e^x$. А теперь можно применить логарифм и усмотреть нечто полезное для вычислений.

[Someone]

yoloven в сообщении #1371224 писал(а):

на самом деле мне это не сильно помогло в плане понимания того, какой кси нужно брать

Очевидно, самый плохой.

[yoloven]

StaticZero в сообщении #1371229 писал(а):

yoloven, таким образом, в примере с экспонентой гарантируется, что $1 < e^\xi < e^x$. Вот сюда

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):

$(n+1)!>10^{2}e^{\xi}$

по идее, нужно загружать его наибольшее значение, то есть $(n+1)! > 10^2 e^x$. А теперь можно применить логарифм и усмотреть нечто полезное для вычислений.

Окей, тогда $x < ln(\frac{(n+1)!}{10^2})$ и до сих пор не ясно что нужно делать с $x$. Она должна быть равна $10^{-2}$? Тогда получится $n=4$ (опять же не знаю из каких побуждений я так делаю, я просто посмотрел чему равны элементы в разложении экспоненты при $x=1$ и пятый элемент уже дает значение меньше $10^{-2}$)

[StaticZero]

Ну перевернуть неравенство вы сумели, а посмотреть следующий ход - не посмотрели. Штука $n \ln n$ растёт не шибко быстрее, чем просто $n$. Исходя из этого, найдите пристрелку $n_0$ - это наименьшее $n$, при котором неравенство удовлетворяется. Вы ведь не забыли, в чём проблема? То что $\xi \in [0, x]$ мы знаем, а вот где именно? Может, нам придётся членов меньше, чем $n_0$ взять?