2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 19:12 


24/11/18
12
Добрый вечер. У меня возникла проблема при оценке количества элементов, которые необходимо взять, чтобы достичь требуемой погрешности. Например, берем функцию $e^x$. Нужно определить до какого элемента достаточно разложить данную функцию в ряд Тейлора, чтобы погрешность вычислений была меньше, чем $10^{-2}$.

Беру остаточный член в форме Лагранжа $r(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$
Предположим, что ищем погрешность в окрестности точки $a=0$ и тогда должно получаться такое неравенство:

$10^{-2}>\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}1^{n+1}$

Преобразуем немного и получим

$(n+1)!>10^{2}e^{\xi}$

И что дальше? Какой брать $\xi$? Подозреваю, что можно написать, что $e^{\xi}<e$ и тогда получаем

$(n+1)!>10^{2}e$

Но насколько верно то, что $e^{\xi}<e$? И верно ли вообще?

И второй вопрос: если буду искать погрешность в окрестности какой-то точки, как это вообще влияет и как посчитать? Не могу сообразить. Просто будет ${(x-a)}^{n+1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
yoloven в сообщении #1371195 писал(а):
И что дальше? Какой брать $\xi$

Вот самое время бы задуматься над тем, какой именно $\xi$ в остаточном члене имени Лагранжа фигурирует. В смысле, что говорит теорема на этот счёт.

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):
искать погрешность в окрестности какой-то точки, как это вообще влияет и как посчитать

Да, влияет. Как именно, думаю, станет понятно после ответа на первый вопрос. Подсказка. Чем дальше вы отходите от точки разложения, то, вообще говоря, тем сильнее вы испортите точность. Тем больше надо членов взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 19:59 


24/11/18
12
StaticZero в сообщении #1371210 писал(а):
yoloven в сообщении #1371195 писал(а):
И что дальше? Какой брать $\xi$

Вот самое время бы задуматься над тем, какой именно $\xi$ в остаточном члене имени Лагранжа фигурирует. В смысле, что говорит теорема на этот счёт.

yoloven в сообщении #1371195 писал(а):
искать погрешность в окрестности какой-то точки, как это вообще влияет и как посчитать

Да, влияет. Как именно, думаю, станет понятно после ответа на первый вопрос. Подсказка. Чем дальше вы отходите от точки разложения, то, вообще говоря, тем сильнее вы испортите точность. Тем больше надо членов взять.

В моем случае $a=0$ и тогда эта точка лежит в интервале от 0 до x. Окей, на самом деле мне это не сильно помогло в плане понимания того, какой кси нужно брать (тот факт, что остаточный член мал в окрестности точки $a$ я понимаю, но все равно не могу разобраться)

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 20:07 


20/03/14
12041
yoloven в сообщении #1371224 писал(а):
все равно не могу зашарить

Переведите на литературный русский. Тут люди разных поколений, Вы лишаете себя внимания части аудитории.

Это раз.
Два:
Чтобы процитировать часть поста, выделите его мышью и нажмите кнопку "вставка". Избыточное цитирование незачем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
yoloven, таким образом, в примере с экспонентой гарантируется, что $1 < e^\xi < e^x$. Вот сюда
yoloven в сообщении #1371195 писал(а):
$(n+1)!>10^{2}e^{\xi}$

по идее, нужно загружать его наибольшее значение, то есть $(n+1)! > 10^2 e^x$. А теперь можно применить логарифм и усмотреть нечто полезное для вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
yoloven в сообщении #1371224 писал(а):
на самом деле мне это не сильно помогло в плане понимания того, какой кси нужно брать
Очевидно, самый плохой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 21:01 


24/11/18
12
StaticZero в сообщении #1371229 писал(а):
yoloven, таким образом, в примере с экспонентой гарантируется, что $1 < e^\xi < e^x$. Вот сюда
yoloven в сообщении #1371195 писал(а):
$(n+1)!>10^{2}e^{\xi}$

по идее, нужно загружать его наибольшее значение, то есть $(n+1)! > 10^2 e^x$. А теперь можно применить логарифм и усмотреть нечто полезное для вычислений.

Окей, тогда $x < ln(\frac{(n+1)!}{10^2})$ и до сих пор не ясно что нужно делать с $x$. Она должна быть равна $10^{-2}$? Тогда получится $n=4$ (опять же не знаю из каких побуждений я так делаю, я просто посмотрел чему равны элементы в разложении экспоненты при $x=1$ и пятый элемент уже дает значение меньше $10^{-2}$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаточный член в форме Лагранжа
Сообщение23.01.2019, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Ну перевернуть неравенство вы сумели, а посмотреть следующий ход - не посмотрели. Штука $n \ln n$ растёт не шибко быстрее, чем просто $n$. Исходя из этого, найдите пристрелку $n_0$ - это наименьшее $n$, при котором неравенство удовлетворяется. Вы ведь не забыли, в чём проблема? То что $\xi \in [0, x]$ мы знаем, а вот где именно? Может, нам придётся членов меньше, чем $n_0$ взять?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group