Разложение дискретной функции по неортогональным гармоникам

[Дмитриев-Е-В]

Подлежит решению следующая интересная и важная задача .
Известны значения некоторой дискретной функции (процесса)
x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{N-1} (1)
в равноотстоящие моменты времени
t_{0}=0,t_{1},t_{2},...,t_{N-1}
Выбрана аппроксимирующая ее дискретная функция в виде
y_{n}=A_{0}+\sum\limits_{k=1}^{K}(A_{k}\cos\omega_{k}t_{n}+B_{k}\sin\omega_{k}t_{n}), n=0,1,2,...,N-1 (2)
Необходимо найти такие значения параметров
A_{0},A_{1},A_{2},...,A_{K},B_{1},B_{2},...,B_{K},\omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{K}, где 3K+1\leq N, (3)
которые обеспечивают максимальное приближение значений
y_{0},y_{1},y_{2},...,y_{N-1}
к заданной функции (1). В качестве расстояния (ошибки) можно взять традиционное выражение
R=\sum\limits_{n=0}^{N-1}(y_{n}-x_{n})^2. (4)
Все переменные и параметры имеют действительные значения.
Важное замечание: каждая из частот
\omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{K}
необязательно должна быть кратной величине \Delta\omega=2\pi/t_{N}, являющейся шагом частот в дискретном преобразовании Фурье заданной функции (1).

Таким образом, необходимо найти разложение функции (1) по неортогональным в общем случае синусоидам (гармоникам). Решение поставленной задачи может быть численным или аналитическим.

Конечно, задачу можно свести к решению системы уравнений, составленной из равенств нулю производных от (4) по параметрам (3). Тогда получится система уравнений с их числом, равным количеству параметров. Это будет трудно решаемая система сложных нелинейных уравнений, имеющая большое количество локальных неоптимальных решений. Необходимо же найти единственное оптимальное глобальное решение.

Если кто-либо может решить или встречал решение поставленной задачи более хитрым (умственным) способом, учитывающим свойства аппроксимирующей функции (2) и расстояния (4), просьба сообщить.

Численное решение этой задачи (простым, но трудоемким) методом статистических испытаний (или, что то же, методом Монте-Карло, методом проб и ошибок, методом случайного поиска) описано на моем сайте
http://short-signal-sp.pochta.ru

Дмитриев-Е-В [e-mail]

[maxal]

Дмитриев-Е-В писал(а):

Выбрана аппроксимирующая ее дискретная функция в виде
y_{n}=A_{0}+\sum\limits_{k=1}^{K}(A_{k}\cos\omega_{k}t_{n}+B_{k}\sin\omega_{k}t_{n}), n=0,1,2,...,N-1 (2)

Ну для начала это можно представить в более компактном виде:

$$y_{n}=A_{0}+\sum\limits_{k=1}^{K} C_k \sin(\omega_{k}t_{n}+\varphi_k),$$

где $C_k = \sqrt{A_k^2 + B_k^2}$, $\sin \varphi_k = \frac{A_k}{C_k}$, $\cos \varphi_k = \frac{B_k}{C_k}.$

[Руст]

Во первых решение может не существовать или не однозначное. Например для частичной суммы ряда Фурье, когда $w_i=i\frac{\pi}{h}$.

[TS]

Если наблюдаемая последовательность - сумма сигнала (аппроксимирующей суммы синусов) и остатка типа шум, то для решения такой задачи существует, например, метод ESPRIT - один из signal subspace mehtods, основанных на свойствах пространства, натянутого на отрезки заданной длины, нарезанные из заданной аппроксимирующей последовательности (сигнала). Это пространство можно приближенно найти, основываясь на первых членах сингулярного разложения соответствующей матрицы из отрезков исходной последовательности. Вообще, нужно искать по теме оценка параметров в зашумленной сумме комплексных экспонент (cisoids - complex sinusiods), лучше на английском.

Тема разрабатывается с давних пор. Обычно решается последовательно - сначала оцениваются частоты, а потом - коэффициенты перед синусами (или комплексными экспонентами) с помощью обычного линейного МНК. Область, где тема рассматривается - signal processing. Основные проблемы возникают, когда есть близкие частоты. Свойство метода различать близкие частоты - frequency resolution. Считается, что ESPRIT имеет high resolution и не слишком большую трудоемкость.

P.S. Возможно, в этой статье сложно разобраться с алгоритмом метода, но название ее содержит основные ключевые слова: ESPRIT---a subspace rotation approach to estimation of parameters of cisoids in noise (1986) by R Roy, A Paulraj, T Kailath, IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing

[maxal]

TS писал(а):

P.S. Возможно, в этой статье сложно разобраться с алгоритмом метода, но название ее содержит основные ключевые слова: ESPRIT---a subspace rotation approach to estimation of parameters of cisoids in noise (1986) by R Roy, A Paulraj, T Kailath, IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing

Статью скинул в ЛС.
А тему переношу в раздел Computer Science.

[Дмитриев-Е-В]

>Статью скинул в ЛС.
>А теме переношу в раздел Computer Science.
---------
1. Для меня "Статью скинул в ЛС" это ребус, который я не могу разгадать. Речь идет о названии статьи в IEEE Trans., указанном выше посетителем "TS"? Тогда я не понял, что значит "в ЛС". То есть, я могу ее почитать? Но где и как?
2. Мне казалось, что моя тема все-таки больше относится к разделу "Математика", нежели к "Computer Science". Но спорить не буду.

[maxal]

Дмитриев-Е-В,
1. ЛС - личные сообщения. Сверху в меню форума кликните на ссылку "Сообщения".
2. "Чистого" математического решения этой задачи не предвидится, а решать ее на компьютере численными методами - это скорее CS, чем математика. Да и указанная статья отнюдь не (чисто-) математическая и не в математическом журнале опубликована.

[Дмитриев-Е-В]

maxal!

1. После "вход" на форум (по имени и паролю) обращаюсь по ссылке: "Сообщения (0)". Но после выдалось: "папка по этой ссылке пуста". Где же все-таки обещанная статья? Или я не так что-то делаю? Может быть Вы ее скинете мне сразу на мой [e-mail]
2. Пожелание: для лучшего и однозначного понимания (слабо подготовленными) посетителями сообщения следует составлять с некоторой информационной избыточностью. Экономия слов не всегда уместна.

[maxal]

Дмитриев-Е-В, проверьте ЛС еще раз.

[TS]

Вот пара ссылок - может, пригодится:
http://web.mit.edu/kusuma/www/Papers/parametric.pdf (на английском)
http://lerc.012345.ru/informatics/0003/0002/ (на русском, в приложении к радиопеленгации)