2019 положительных несократимых дробей

[Ktina]

Записаны 2019 положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Тамара перевела каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?

[gris]

Может быть, есть какое-то невысказанное требование? Или ноль считается целой частью у правильной дроби? А то можно взять 2018 дробей $\dfrac1l$, добавить одну очевидную неправильную дробь, у которой числитель увеличен до ближайшего простого числа. А можно взять только одну правильную дробь с простым знаменателем, а другие вида $l \dfrac1l$.

[kotenok gav]

gris в сообщении #1370813 писал(а):

Или ноль считается целой частью у правильной дроби?

Конечно.

[Ktina]

gris в сообщении #1370813 писал(а):

Может быть, есть какое-то невысказанное требование?

Разве что обобщить 2019 до произвольного натурального числа.

[wrest]

Ktina в сообщении #1370896 писал(а):

Разве что обобщить 2019 до произвольного натурального числа.

У меня какие-то трудности с пониманием ваших задач.
$3/2+2/3$ -- тут есть "два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?"
$5/2+2/5+1/1$ - а тут?

[gris]

Я так понял, что имеется в виду пятиклассное понимание смешанного числа: мы просто делим числитель на знаменатель с остатком и считаем неполное частное целой частью, а остаток числителем дробной части. Но моя идея подходит для любого общего количества дробей. Словами: берём на единичку меньше различных простых чисел. Берём от них обратные. Присоединяет различные целые части. Переводим в неправильные дроби. Все они несократимы, у всех разные дробные и целые части. Складываем все числители и знаменатели. Получаем соответствующую дробь. Переворачиваем. Она правильная с нулевой целой частью. Модифицирует её для несократимости: увеличиваем ч и з так, чтобы з стал простым числом, большим остальных знаменателен.
Я пробовал объяснить это пятикласснице. Она рассердилась.
Так ли я понял?
А для кого Вы пред назначили эту тему. Меня терзают смутные Кински налоги веские (вот как планшет представил слово конспиралогические )сомнения.
Вот пример трех дробей: $\dfrac 32;\dfrac 73;\dfrac6{11}$

[wrest]

gris в сообщении #1370920 писал(а):

Я пробовал объяснить это пятикласснице. Она рассердилась.

Ну а я понял, что если среди этих всех наших чисел (представленных дробями) хотя бы два меньше единицы, то всё: условие не выполнено. Так что по крайней мере, floor всех наших 2019 чисел должны отличаться друг от друга, т.е. $\forall x_i,x_j \to \lfloor x_i \rfloor \ne \lfloor x_j \rfloor$ и например число меньшее единицы может быть только одно.

[gris]

Выходит так. То есть одна правильная дробь, остальные неправильные. Надеюсь, в этот раз я Вас не перепутал Я думаю, что продвинутому школьнику годится. Но у нас только один такой, но онбол ше функаном интересуется.

[Ktina]

wrest в сообщении #1370912 писал(а):

У меня какие-то трудности с пониманием ваших задач.
$3/2+2/3$ -- тут есть "два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?"

Я вижу здесь одно число, а не два.

[wrest]

Ktina в сообщении #1371094 писал(а):

Я вижу здесь одно число, а не два.

Ну замените плюс на точку с запятой, увидите два.

[Ktina]

wrest
Тогда ответ отрицателен в обоих случаях.

[wrest]

Ktina в сообщении #1371099 писал(а):

Тогда ответ отрицателен в обоих случаях.

Тогда обобщение на произвольное $n$ готово: "необязательно".