Методы нелинейной оптимизации

[magres]

Две подзадачи:

1. Для постоянных векторов $l$, $v$ существует множество матриц проективного преобразования $P$ размерности 4x4, так что

$$l^\intercal P v = 0$$

Нужно найти однородные вектора $l$, $v$ при заданных $P$. В количестве матриц не ограничены, но лучше использовать минимум.

2. Для постоянной ортогональной матрицы поворота $S$ и вектора $t$ существует множество ортогональных матриц поворота $R$, так что

$$S R t = f$$

Нужно найти $S$, $f$ при заданных $R$. В количестве матриц поворота не ограничены, но лучше использовать минимум.

Обе подзадачи сводятся к нелинейной системе уравнений. До этого решал линейные либо в лоб либо через МНК. Какой метод оптимальнее всего в данном случае?

По пожеланию модератора, раскрою матрицы до систем уравнений, где все сводится к

1.

$$ \sum\limits_{i,j} l_i p_{ij} t_j = 0 $$

2.

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i,j} s_{1,i} r_{ij} v_j = f_1 \\ \sum\limits_{i,j} s_{2,i} r_{ij} v_j = f_2 \\ \sum\limits_{i,j} s_{3,i} r_{ij} v_j = f_3 \\ \end{cases} $$

Как наблюдаем, произведение искомых компонент вектора. Можно конечно обозначить произведения в новую величину и решать СЛАУ с 16 неизвестными в первом случае и 27 во втором, но не считаю это рациональным.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»

[iifat]

magres в сообщении #1370407 писал(а):

найти однородные вектора $l$, $v$

А это кто такие?
1. Как вариант: обозначим $z_{ij}=l_it_j$ и получаем линейные уравнения. Осталось набрать в множестве $n^2$ (возможно, -1) линейно независимых матриц...

[magres]

iifat в сообщении #1370878 писал(а):

magres в сообщении #1370407 писал(а):

найти однородные вектора $l$, $v$

А это кто такие?
1. Как вариант: обозначим $z_{ij}=l_it_j$ и получаем линейные уравнения. Осталось набрать в множестве $n^2$ (возможно, -1) линейно независимых матриц...

об этом и писал. Это первое что приходит на ум, но не кажется оптимальным.