Электроёмкость сферического сегмента

[AnatolyBa]

Munin Цитата из указанной работы

Цитата:

To find the distribution for the case in which $S$ is insulated, electrified, and removed from all disturbing influence, let $V$ be the constant potential produced throughout $S$ by this distribution. Remark that the same distribution of electricity on $S$ would be produced inductively if it were connected by an infinitely fine wire with the earth, end enclosed by any surface, $EE$, rigidly electrified with such a quantity and distribution of electricity as ... to produce a uniform potential - $V$ through its interior.

[Munin]

Что-то здесь туманно и некрасиво.

[AnatolyBa]

Претензии к лорду. Я с трудом пробирался сквозь текст. Но в конце концов, по-моему, результат правильный.
Заземление бесконечно тонкой проволочкой - практически этого конечно не сделать без искажения поля. Неувязочка.
Но давайте вообразим. Однородно заряженная сфера (непроводящая). На бесконечности потенциал полагаем нулевым.
Внутри сферы - проводник с неизвестным зарядом, но по предположению создающим нулевой потенциал на себе (с учетом потенциала сферы, конечно).
Вот этот заряд, и его распределение и надо найти. Чем плохо?

[Munin]

Да. В принципе, такое можно сделать. Без проволочки, а просто пипеткой перенося заряд на этот проводник по чуть-чуть, пока его потенциал не станет каким захотим.

[Xmas]

Как выясняется, "уровень трудности" в обоих пространствах примерно одинаков.

С технической стороны с инверсией затруднений уже нет. Для сферы, например, весь процесс до получения ёмкости легко проигрывается в уме:

1) Принимаем для удобства радиус $\mathfrak{R}$ инверсии равным радиусу $R$ сферы.
2) Центр инверсии помещаем на поверхность сферы.
3) Самая дальняя точка сферы находится на расстоянии $2R$ от центра инверсии. Значит, инвертированная поверхность - бесконечная плоскость - находится на расстоянии $R/2$ от центра инверсии.
4) По Йосселю: помещаем в центр инверсии пробный заряд $q_0$, численно равный "минус $4\pi\varepsilon_a$"
5) Нужно найти потенциал в точке инверсии, создаваемый индуцированными зарядами плоскости. Плоскость бесконечная, поэтому потенциал будет тот же, как от зеркально отражённого в ней заряда, равного пробному, но с обратным знаком. То есть, потенциал в точке инверсии $U_I = -q_0/(4\pi\varepsilon_a R)=1/R$.
6) Ёмкость исходного проводника вычисляется по формуле $C = 4\pi\varepsilon_a\mathfrak{R}^2 U_I = 4\pi\varepsilon_a R$, результат общеизвестный.

Но в большинстве остальных случаев всё равно приходится искать поверхностную плотность заряда, а она ведёт к интегральному уравнению. Для диска получается практически то же самое, что и в исходном пространстве - эллиптический интеграл "K" в ядре. Есть какой-то приём, которого я не вижу (к сожалению), позволяющий обойтись без решения интегрального уравнения в случае диска.

[AnatolyBa]

Диск? Что вы имеете в виду? Поле уединенного затряженного проводящего диска?
Это совершенно другая задача. Инверсия не нужна, решается на школьном уровне.
Берется сфера и сжимается в эллипсоид. Заряды не двигаются, доказывается, что поле внутри остается нулевым.
Так и сжимается до диска.
А вообще-то да, нетривиальные конфигурации не считаются аналитически.
Наука красивая но для практических нужд используются численные методы или оценки.

[drug39]

Xmas в сообщении #1369307 писал(а):

Бесконечное множество решений в этой задаче устраняется молчаливым предположением, что у бесконечно удалённой точки есть некоторый фиксированный потенциал (равный нулю). Другие разнообразия едва ли возможны - зарядив ёмкость до какого-либо определённого потенциала, мы образуем запас энергии $CU^2/2$. Если бы было несколько возможных решений при одном и том же потенциале - это нарушало бы законы сохранения заряда и энергии.

Никакой это не аргумент.

AnatolyBa в сообщении #1370532 писал(а):

Диск? Что вы имеете в виду? Поле уединенного заряженного проводящего диска?
Это совершенно другая задача. Инверсия не нужна, решается на школьном уровне.
Берется сфера и сжимается в эллипсоид.

Вот это правильно, что в этой теме появился диск. Поскольку это более простая задача. Сначала с ней надо разобраться. Потом и на задачу о сегменте будете смотреть иначе. Правильно следует говорить задача об уединённом проводящем круге, поскольку диск предполагает какую-то толщину.
Действительно, в учебной литературе эту задачу часто отождествляют с задачей о предельно сжатом проводящем сфероиде.
На самом деле такой подход даёт только частное решение. Мне нравится, что, касаясь это вопроса, Сивухин не употребляет
термин "проводящий круг", а говорит только о круге, заряженном соответствующим образом и эквивалентном проводящему сфероиду. Так совершенно корректно. Поскольку решений для проводящего круга много, их целое семейство. Так откуда же берутся дополнительные решения? Чтобы ответить на этот вопрос нужно написать уравнение, связывающее функцию поверхностной плотности заряда круга $\sigma(r)$ условием, что тангенциальная составляющая поля на круге равна нулю. Только вот вопрос, на всём ли круге? Можно и на всём. Можно исключить границу. А на границе тангенциальная составляющая может быть и бесконечно велика. Это будут два разных уравнения с разными решениями. Общее решение запишется в виде линейной комбинации этих решений, представляющей семейство решений (достаточно рассмотреть только симметричный случай). Теперь можно рассуждать об инверсии...

[Munin]

drug39 в сообщении #1370710 писал(а):

А на границе тангенциальная составляющая может быть и бесконечно велика.

Тогда это некорректная формализация физической задачи.

[drug39]

Munin в сообщении #1370715 писал(а):

Тогда это некорректная формализация физической задачи.

Так круг и не является физическим телом и телом вообще (как и сферический сегмент). Чтобы видеть здесь физическую задачу, нужно понимать, что круг в данном случае - это геометрическое место точек, поле которого эквивалентно внешнему полю некого тела, имеющего толщину, хоть и очень маленькую.

[Xmas]

drug39 в сообщении #1370710 писал(а):

Xmas в сообщении #1369307 писал(а):

Если бы было несколько возможных решений при одном и том же потенциале - это нарушало бы законы сохранения заряда и энергии.

Никакой это не аргумент.

Ув. drug39. С чего это я должен верить голословным возражениям?

[realeugene]

drug39 в сообщении #1370710 писал(а):

А на границе тангенциальная составляющая может быть и бесконечно велика.

Что такое тангенциальная составляющая поля на границе круга? Речь о том, что на границе круга поле сингулярно? И что в физике, если присматриваться к этой границе, нужно учитывать радиус кривизны проводящей поверхности для нахождения поля в окрестности? Но чем тогда параметризовано это семейство решений для круга?

[drug39]

Xmas в сообщении #1370773 писал(а):

С чего это я должен верить голословным возражениям?

Я всё подробно написал в следующем абзаце того сообщения. Читайте лучше.

realeugene в сообщении #1370791 писал(а):

Что такое тангенциальная составляющая поля на границе круга? Речь о том, что на границе круга поле сингулярно?

Речь о том, что в задаче об уединённом проводящем круге на границе круга не определено направление поля. Поэтому не выполняется условие единственности решения. Заметьте. Если взять известную формулу для поверхностной плотности заряда круга, соответствующему проводящему сжатому сфероиду, $\sigma(r)=\frac q {2\pi R^2} \frac 1 {\sqrt{1-r^2/R^2}}$, то тангенциальная составляющая поля на границе круга равна строго нулю. Т.е. поле на границе направлено либо вверх, либо вниз. Если взять просто проводящий круг, то мы не можем сказать куда направлено поле на границе. Например, оно может быть направлено по радиусу.

realeugene в сообщении #1370791 писал(а):

И что в физике, если присматриваться к этой границе, нужно учитывать радиус кривизны проводящей поверхности для нахождения поля в окрестности?

Нужно учитывать всю форму проводящего тела, которому эквивалентен круг, для нахождения поля во всём пространстве. Тогда решение будет единственным.

realeugene в сообщении #1370791 писал(а):

Но чем тогда параметризовано это семейство решений для круга?

Можно задаться весом однородного решения от 0 до 1 и обеспечить постоянство общего заряда.

[realeugene]

drug39 в сообщении #1370801 писал(а):

$\sigma(r)=\frac q {2\pi R^2} \frac 1 {\sqrt{1-r^2/R^2}}$, то тангенциальная составляющая поля на границе круга равна строго нулю.

Тангенциальная составляющая в любой точке поверхности неизбежно равна нулю. Такова физика. Разумеется, там, где поверхность гладкая. На границе круга поверхность не гладкая. Нормали нет, тангенциальной составляющей поля нет.

С другой стороны, по вашей формуле (и как это общеизвестно для острий), на краю диска плотность заряда стремится к бесконечности, а значит, ненулевая нормальная составляющая напряженности поля тоже стремится к бесконечности. То есть, про поле на краю диска осмысленно рассуждать вообще нельзя. Край нужно как-то обходить, чтобы получить осмысленное решение.

drug39 в сообщении #1370801 писал(а):

Можно задаться весом однородного решения от 0 до 1 и обеспечить постоянство общего заряда.

Вам несложно привести это параметризованное решение? Чего-то мне не сильно верится, что нужно учитывать точную толщину диска в центре для описания поля в окрестности края диска.

[drug39]

realeugene в сообщении #1370810 писал(а):

Нормали нет, тангенциальной составляющей поля нет.

Верно. Но я имею в виду тангенциальную составляющую по отношению к плоскости круга. Она то есть.

realeugene в сообщении #1370810 писал(а):

То есть, про поле на краю диска осмысленно рассуждать вообще нельзя.

Речь как раз о том, что можно.Только не диска, а круга. Формулу же для примера дал. Возьмите и посчитайте направление поля.

realeugene в сообщении #1370810 писал(а):

Вам несложно привести это параметризованное решение? Чего-то мне не сильно верится, что нужно учитывать точную толщину диска в центре для описания поля в окрестности края диска.

Верно, наиболее сильно влияет форма диска на краях, а не в центре. Но задача стоит определить поле не в окрестности, а во всём пространстве. Задача с окрестностью строго решается только для эллипсоида.
Мне несложно привести параметрическую формулу для круга. Но там довольно длинный вывод.

[realeugene]

drug39 в сообщении #1370814 писал(а):

Но я имею в виду тангенциальную составляющую по отношению к плоскости круга. Она то есть.

Мне кажется, у вас какие-то свои, необычные определения.

drug39 в сообщении #1370814 писал(а):

Возьмите и посчитайте направление поля.

И так понятно, что в окрестности края поле направлено в сторону края. И направление его на самом крае не определено. А идя к краю различными путями мы будем получать различное предельное направление, или же не получать никакого.

drug39 в сообщении #1370814 писал(а):

Мне несложно привести параметрическую формулу для круга. Но там довольно длинный вывод.

ОК, без вывода? Любопытно пощупать ваш результат на физичность.