Знаки скачут, как хотят.

[Resa]

Здравствуйте! Решение этой задачи у меня есть, но не могу смириться с ним из-за двух знаков, которые в нем содержатся. Понятно, что решение верно. Но я не усвоил причину, по которой должно быть именно так. Решение, предлагаемое решебником:

$$ \left(\sqrt{\left(\sqrt 2-\frac32\right)^2}-\sqrt[3]{\left(1-\sqrt 2\right)^3}\right)^2=\left(\frac32-\sqrt 2-1+\sqrt 2\right)^2 =\left(\frac12\right)^2=\frac14 $$

Как бы решал я:

$$\left(\sqrt{\left(\sqrt 2-\frac32\right)^2}-\sqrt[3]{\left(1-\sqrt 2\right)^3}\right)^2=\left(\left(\sqrt 2-\frac32\right)-\left(1-\sqrt 2\right)\right)^2=\left(\sqrt 2-\frac32-1+\sqrt 2\right)^2=$$

$$=\left(2\sqrt 2-\frac52\right)^2=14\frac14-10\sqrt 2$$

Знаки в решениях отличаются, но, с другой стороны, поступать так для меня естественно. Скажите, пожалуйста, почему после извлечения первого корня знаки должны менятся на противоположные? Спасибо.

[Lia]

Значение квадратного корня не может быть отрицательным. Формула для извлечения квадратного корня из квадрата имеется. Это не всегда само число.

[Евгений Машеров]

$\frac 3 2 = 1.5$
$\sqrt 2= 1.4142135623730950488…$

[EUgeneUS]

$\sqrt{x^2} = |x|$, а не $x$

[teleglaz]

Resa в сообщении #1370317 писал(а):

почему после извлечения первого корня знаки должны менятся на противоположные?

Потому что $\sqrt{x^2}=|x|$

[Resa]

Спасибо всем, кто ответил. У меня еще один вопрос по этому же заданию. Для того, чтобы узнать, что подкоренное выражение больше или меньше нуля, нужно сначала сравнить два слагаемых между собою. В данном примере ответ очевиден, но для более общего случая рассмотрим два способа это сделать: возведение их в квадрат, чтобы избавиться от знака корня, либо, наоборот, взять другое из них также под знак корня.
Если представить одно из слагаемых выражения $\sqrt 2-\frac32$ в виде корня квадратного, то получим неравенство:

$$\sqrt 2<\sqrt {2.25}$$

С другой стороны, после возведения обоих слагаемых в квадрат неравенство имеет вид:

$$2<2.25$$

Казалось бы, на этом и конец. Однако, если найти соотношение этих слагаемых в обоих случаях, то увидим, что эти соотношения не одинаковы:

$$\frac{\sqrt 2}{\sqrt {2.25}}=0,94280904158206336586779248280647$$

$$\frac{2}{2.25}=0,88888888888888888888888888888889$$

Меня это насторожило. Объясните мне кто-нибудь, что тут происходит?

[miflin]

Resa в сообщении #1370650 писал(а):

Объясните мне кто-нибудь, что тут происходит?

Ничего особенного. Главное - отношение меньше единицы, из чего следует, что числитель меньше знаменателя.
А на сколько - неважно.

[Someone]

Resa в сообщении #1370650 писал(а):

Однако, если найти соотношение этих слагаемых в обоих случаях, то увидим, что эти соотношения не одинаковы:

$$\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2.25}=0,94280904158206336586779248280647$$

$$\frac{2}{2.25}=0,88888888888888888888888888888889$$

Меня это насторожило. Объясните мне кто-нибудь, что тут происходит?

А с какого бодуна эти отношения должны быть одинаковыми?

P.S. Подкоренное выражение следует окружать фигурными скобками: $\sqrt{2{,}25}$. Фигурные скобки используются для группировки символов.

[Dmitriy40]

Resa
Если немного упростить ваше выражение и обозначить подкоренное выражение за $a$, то Вы сравниваете $\sqrt{a}$ и $a$ - ну и с чего бы им быть всегда равными? В паре частных случаев они да, могут быть равными ($a=0, a=1$), но не всегда же, и ваше значение $a$ в этот короткий список не попадает.

[Resa]

Dmitriy40 в сообщении #1370670 писал(а):

Resa
Если немного упростить ваше выражение и обозначить подкоренное выражение за $a$, то Вы сравниваете $\sqrt{a}$ и $a$ - ну и с чего бы им быть всегда равными? В паре частных случаев они да, могут быть равными ($a=0, a=1$), но не всегда же, и ваше значение $a$ в этот короткий список не попадает.

Спасибо всем ответившим, а Вам, Dmitriy40, в особенности, потому что вы показали мне выход из этой в прошлом уже не понятной ситуации. В соответствии с вашим предложением обозначим одно из соотношений, приведенных выше за $a$:

$$\frac{2}{2.25}=0,88888888888888888888888888888889=a$$

Второе соотношение преобразуем:

$$\frac{\sqrt 2}{\sqrt {2.25}}=\sqrt {\frac{2}{2.25}}=\sqrt a$$

Тоесть рассматриваемые соотношения не могут быть равны так же, как $\sqrt a\not = a$ (кроме упомянутых вами случаев, когда $a=0$ и $a=1$).
Ну и теперь то представляется возможным связать числовые величины тех соотношений:

$$0,94280904158206336586779248280647^2 = 0,88888888888888888888888888888889$$

[Aritaborian]

Вот, к чему приводит увлечение молодёжи компутерами. Рассчитать корень до хренадцатизначной точности мы умеем, а понять, что получили, не можем.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Ну мало ли какой у кого ступор бывает. Тем более в школе. Бывает достаточно банальности чтобы столкнуть с мёртвой точки и всё вдруг становится понятным.