Преобразование Лоренца.

[Munin]

А зачем вам на неё делить?

[_20_]

Для того, чтобы получить $v_3 = - \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2 f}$

[Munin]

_20_ в сообщении #1370359 писал(а):

Но дальше я прихожу к равенству:
$\gamma_3 x - \gamma_3 v_3 t = \gamma_1 \gamma_2 ((1+v_1 v_2 f)x - (v_1 + v_2)t)$

И вот, если я сейчас поделю на $(1+v_1 v_2 f)$, то надо будет делить обе части уравнения и правую и левую.

Надо не только делить, но и приравнивать. Если вы увидите, что $\gamma_3=\gamma_1 \gamma_2 (1+v_1 v_2 f),$ то будет проще.

-- 21.01.2019 19:19:44 --

_20_
Ваши вопросы уже несколько раз спотыкаются вот на каком пункте: написано уравнение, причём справа и слева - выражения. Надо сообразить, что на самом деле это несколько уравнений, которые соответствуют компонентам выражений. Это встречается повсеместно в разных видах: для векторов, для действительной и мнимой части комплексных чисел, для разных многочленов. В общем виде это ведёт к функциональным равенствам и уравнениям (иногда говорят "равенство должно выполняться тождественно", то есть во всей области определения функции). Примеры:

$$\begin{gathered} ax^2+bx+c=6x^2+5x+1, \\ re^{i\varphi}=x+iy,\qquad A\cos(\omega t+\varphi_0)=A_1\cos\omega t+A_2\sin\omega t, \\ \vec{F}=q[\vec{v}\vec{B}],\qquad Ax^2+By^2+Cz^2=(ax+by+cz)^2. \end{gathered}$$

И вообще, это может указывать на дезориентированность в формулах, когда вы теряете нить, с чем работаете, в чём смысл и цель действий, что дано и что надо найти, - и начинаете "бессмысленную игру в буковки". В такой ситуации надо "подняться на высоту птичьего полёта" над задачей.

[_20_]

Всё, дорешал, вроде. Сошлось. Спасибо.

Я наверное, просто устал немного. Сначала я с энтузиазмом взялся за дело, потому - что меня конечный вывод поразил. Я всегда думал, что должна быть какая - то сложная математика, а оказалось, что для понимания откуда берётся предельная скорость ничего такого особенного не надо. Максимум - решение системы линейных уравнений. А потом начал кставать. Решать надоело, а дорешать хочется. Спасибо за советы и подсказки.

С Вашим примером Вы затронули интересную тему. Вот, например, в квадратном уравнении, я согласен, что само просится приравнять а = 6, b = 5, c = 1. Но я ещё не видел строгого математического доказательства, что других значений a, b, и c принимать не могут. Может я слишком осторожничаю, но всё - таки.

[Munin]

Строгое доказательство - в линейной алгебре. Надо понимать условие как то, что равенство выполняется при любых $x$:

$$\forall\,x\in\mathbb{R}\quad ax^2+bx+c=6x^2+5x+1.$$

В этом случае, мы на самом деле имеем бесконечно много уравнений при каждых конкретных значениях $x$:

$$\begin{cases} a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=6\cdot 0^2+5\cdot 0+1 \\ a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=6\cdot 1^2+5\cdot 1+1 \\ a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=6\cdot 2^2+5\cdot 2+1 \\ \quad\cdots \\ a\cdot 0{,}5^2+b\cdot 0{,}5+c=6\cdot 0{,}5^2+5\cdot 0{,}5+1 \\ \quad\cdots \\ a\cdot \pi^2+b\cdot \pi+c=6\cdot \pi^2+5\cdot \pi+1 \\ \quad\cdots \end{cases}$$

Это самое главное, что здесь нужно понимать: что слева и справа стоят функции, $f_1(x)=ax^2+bx+c,$ $f_2(x)=6x^2+5x+1,$ и что приравниваются они друг другу как функции, $f_1(x)=f_2(x),$ то есть, это равенство должно выполняться везде, где эти функции заданы. Здесь нужен навык чтения выражений, чтобы видеть в $a\underline{x}^2+b\underline{x}+c$ именно функцию переменной $x,$ а буквы $a,b,c$ воспринимать как константы. (А иногда наоборот, в зависимости от контекста. И за контекстом надо следить, и нужное понимание держать в голове.)

И теперь, из этих бесконечно многих уравнений можно выбрать три линейно независимых. (На самом деле, любые три различных из них будут линейно независимы, а любые четыре - линейно зависимы. Это полезное упражнение - доказать.) Например, $x=0,1,2.$ Или $x=0,1,-1.$ И решить систему относительно $a,b,c.$ И вы получите (какую бы тройку иксов вы ни выбрали!) всегда

$$a=6,\qquad b=5,\qquad c=1.$$

На языке линейной алгебры, мы имеем здесь линейное (векторное) пространство полиномов от $x,$ которое является подпространством в пространстве функций от $x,$ а оно - подпространство в пространствах функций многих переменных, если нам захочется в контексте иметь также переменные $y,x,...$ (На самом деле, нам достаточно линейного пространства полиномов степени не больше 2.) И в этом пространстве мы имеем равенство двух векторов:

$$(\ldots,0,a,b,c)=a\cdot(x^2)+b\cdot(x^1)+c\cdot(x^0)=6\cdot(x^2)+5\cdot(x^1)+1\cdot(x^0)=(\ldots,0,6,5,1),$$

координаты записаны в базисе $p_{e\,i}(x)=x^i.$

А равенство векторов - это равенства всех их соответствующих координат.

Именно в этом смысле следует рассматривать все написанные мной примеры, и все тому подобные. Надеюсь, вы примете это как строгое математическое доказательство.

Ещё добавлю, что взгляд на выражения как на элементы пространства функций (или полиномов, или чего-то в этом духе: тригонометрических полиномов, в частности) позволяет естественно думать о многих свойствах за рамками "просто поскорее решить". Например, свойства симметрии выражений при $x\leftrightarrow -x,$ $x\to y\to z\to x$ и т. д. - это симметрии фигур и функций в линейном пространстве. На $y=x^2=(-x)^2$ можно смотреть как на алгебраический факт, а можно - как на симметрию параболы относительно вертикальной оси. Подобные рассуждения помогают искать корни, доказывать, что корней нет, доказывать, что корней не более чем сколько-то, или что их бесконечно много, и т. д.

[Dmitriy40]

(Не уверен в правильности утверждения)

При решении шаг с бесконечной системой уравнений и доказательством линейной независимости часто пропускают из-за очевидности и пишут сразу систему из трёх уравнений, где переменными считают $a, b, c$. Но для лучшего понимания это полезно проделать полностью хотя бы однажды и потом просто помнить "откуда ноги растут".

Эта тема хороший пример как вместо криков об ошибочности СТО и преобразований Лоренца человек сел и разобрался откуда они берутся и почему приводят к именно таким результатам.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1370883 писал(а):

При решении шаг с бесконечной системой уравнений и доказательством линейной независимости часто пропускают из-за очевидности

На самом деле, если не ошибаюсь, это просто довольно трудоёмко (если совсем аккуратно)...
а то ещё всякие делители нуля в голову лезут....

[Munin]

Какие делители нуля в линейном пространстве?

[Geen]

Извиняюсь, работой уплющен сильно последнее время, соображаю с трудом - полиномы ведь не обязательно линейное пространство?

[Munin]

По сложению - линейные. Если добавить умножение - то они образуют кольцо.

Чтобы в кольце полиномов были делители нуля, сами они должны быть не над целыми, действительными или комплексными числами. (Точного условия навскидку не назову.) А такая экзотика - это уже не по разделу физики.

[Geen]

Munin в сообщении #1370983 писал(а):

А такая экзотика - это уже не по разделу физики.

Согласен (про физику; в подавляющем большинстве случаев), но на строгое "математическое" доказательство... "физики" никогда не станут тратить время (и это правильно)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Многочлен писал(а):

Однако в общем случае это неверно, например: многочлены $p_{1}(x)\equiv x$ и $p_{2}(x)\equiv x^{2}$ из $\mathbb{Z } _{2}[x]$ определяют тождественно равные функции $\mathbb{Z } _{2}\to \mathbb{Z } _{2}$.

[Munin]

Это не делители нуля. Но вообще спасибо, что напомнили. Да, многочлены в алгебраическом смысле - могут отличаться от полиномиальных функций в смысле аналитическом. Но к счастью, у нас в $\mathbb{R}$ всё спокойно :-)

[Geen]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1370988 писал(а):

Это не делители нуля.

Так я потому и поставил

простые слова забываю...

[_20_]

Я не совсем понял Ваше доказательство, видимо надо ещё пару раз перечитать. Хотел спросить о другом. Вот если читать СТО, то там говорится о постулатах. И один из них - существование предельной скорости. Но какой же это постулат, если мы его только что получили из преобразований Лоренца?

[arseniiv]

Строго говоря, из преобразований Лоренца самих по себе ничего получить нельзя, они ведь не утверждения.