Всем привет!
Помогите пожалуйста осилить упражнения из упомянутого учебника. Первые проблемы возникли с упражнением на стр.26 (МЦНМО, 2002г). По мере решения других упражнений и возникновения вопросов, буду добавлять их в эту же ветку. Судите пожалуйста строго, но с пониманием того, что я- самоучка.
ЗАДАНИЕ 1.a:
Пусть
- диагональ множества
, а
- диагональ множества
. Покажите, что если отношение
и
таковы, что
, то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств
,
В аналогичной теме, но уже закрытой, был предложен план доказательства необходимых утверждений:
1) Доказать, что областью определения отношения
является все множество
;
2) Доказать, что областью определения отношения
является все множество
;
3) Доказать функциональность
и
;
4) Доказать, что заданные
и
отображения являются обратными.
Согласно предложенному плану, я постарался расписать доказательство:
1)Пусть
- произвольный элемент из
. Пара
, тогда
.
2)Пусть
- произвольный элемент из
. Пара
, тогда
.
Здесь хочу остановиться на понимании самого вопроса функциональности отношения, определенного Зоричем.
функционально, если справедливо следующее выражение:
Поэтому необходимо прийти к инъективности, хотя оно тут и не применимо, отношений
и
.
3)Пусть
. Из п.2 имеем следующее:
.Тогда из
.
Пусть
. Из п.1. имеем следующее:
.Тогда из
.
Из полученного можно сделать вывод, что выражение (*) истинно для обоих отношений, что является доказательством их функциональности.
4) Инъективность этих отображений была доказана в п.3.
отношения задают взаимообратные отображения.
i |
Lia: Название темы исправлено на более информативное. Добавлять сюда новых задач не нужно. Создайте другую тему. |