2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич: упражнение на функциональность отношения
Сообщение21.01.2019, 07:06 


20/01/19
15
Всем привет!

Помогите пожалуйста осилить упражнения из упомянутого учебника. Первые проблемы возникли с упражнением на стр.26 (МЦНМО, 2002г). По мере решения других упражнений и возникновения вопросов, буду добавлять их в эту же ветку. Судите пожалуйста строго, но с пониманием того, что я- самоучка.

ЗАДАНИЕ 1.a:

Пусть $\Delta_x$ - диагональ множества $X^2$, а $\Delta_Y$ - диагональ множества $Y^2$. Покажите, что если отношение $R_1 \subset X\times Y$ и $R_2 \subset Y\times X$ таковы, что $\left(R_1 \circ R_2 = \Delta_X\right) \wedge \left(R_2 \circ R_1 = \Delta_Y\right)$, то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств $X$, $Y$

В аналогичной теме, но уже закрытой, был предложен план доказательства необходимых утверждений:

1) Доказать, что областью определения отношения $R_1$ является все множество $X$;
2) Доказать, что областью определения отношения $R_2$ является все множество $Y$;
3) Доказать функциональность $R_1$ и $R_2$;
4) Доказать, что заданные $R_1$ и $R_2$ отображения являются обратными.

Согласно предложенному плану, я постарался расписать доказательство:

1)Пусть $x$ - произвольный элемент из $X$. Пара $\left(x,x\right) \in \left(R_1 \circ R_2\right) = \Delta_X$, тогда $\exists y \left(xR_1y\right)$.
2)Пусть $y_1$ - произвольный элемент из $Y$. Пара $\left(y_1,y_1\right) \in \left(R_2 \circ R_1\right) = \Delta_Y$, тогда $\exists x_1 \left(y_1R_2x_1\right)$.

Здесь хочу остановиться на понимании самого вопроса функциональности отношения, определенного Зоричем. $R$ функционально, если справедливо следующее выражение: $$\left(xRy_1\right) \wedge \left(xRy_2\right) \Rightarrow \left(y_1 = y_2) (*)$$ Поэтому необходимо прийти к инъективности, хотя оно тут и не применимо, отношений $R_1$ и $R_2$.


3)Пусть $xR_1y_1$. Из п.2 имеем следующее: $\exists x_1: y_1R_2x_1$.Тогда из $\left(xR_1y_1\right)\wedge \left(y_1R_2x_1\right)$ $\in \left(R_2 \circ R_1\right) = \Delta_X$ $\Rightarrow$ $x = x_1$.

Пусть$yR_2x$. Из п.1. имеем следующее: $\exists x: xR_1y_2$.Тогда из $\left(y_1R_2x\right)\wedge \left(xR_1y_2\right)$ $\in \left(R_1 \circ R_2\right) = \Delta_Y$ $\Rightarrow$ $y_1 = y_2$.

Из полученного можно сделать вывод, что выражение (*) истинно для обоих отношений, что является доказательством их функциональности.

4) Инъективность этих отображений была доказана в п.3. $\Rightarrow$ отношения задают взаимообратные отображения.

 i  Lia: Название темы исправлено на более информативное.
Добавлять сюда новых задач не нужно. Создайте другую тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич МЦНМО 2002. Решение упражнений
Сообщение21.01.2019, 08:14 


20/01/19
15
Задание 1.b:

Пусть $R\subset X^2$. Покажите, что условие транзитивности отношения $R$ равносильно тому, что $R \circ R \subset R$.

Из определения транзитивности отношения R, определенного на множесте $X$ следует, что справедливо следующее: $$\begin{cases}(x_1Rx_2)\\ (x_2Rx_3)\end{cases} \Rightarrow (x_1Rx_3)$$То есть данное отношение определено между любыми двумя элементами $X$. Из условия $R \circ R \subset R$ следует, что данная композиция есть множество упорядоченных пар $(x_1,x_2)$ и в силу того, что $R$ определено на всем множестве $X$, эта композиция будет содержать всевозможные пары. Из сказанного можно заключить справедливость предположения задачи.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.01.2019, 11:00 
Модератор


20/03/14
9975
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- уберите картинки, пожалуйста, и наберите формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.01.2019, 17:40 
Модератор


20/03/14
9975
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

На всякий случай повторю (см. выше): новых задач тут размещать не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич: упражнение на функциональность отношения
Сообщение24.01.2019, 18:46 


21/07/12
126
Cначала, как по мне, надобно доказывать функциональность отношений $R_{1}$ и $R_{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич: упражнение на функциональность отношения
Сообщение26.01.2019, 18:13 


20/01/19
15
oniksofers в сообщении #1371488 писал(а):
Cначала, как по мне, надобно доказывать функциональность отношений $R_{1}$ и $R_{2}$.


Так я это и сделал? Вопрос в том, верно ли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group