Зорич: упражнение на функциональность отношения

[khasanov.sm]

Всем привет!

Помогите пожалуйста осилить упражнения из упомянутого учебника. Первые проблемы возникли с упражнением на стр.26 (МЦНМО, 2002г). По мере решения других упражнений и возникновения вопросов, буду добавлять их в эту же ветку. Судите пожалуйста строго, но с пониманием того, что я- самоучка.

ЗАДАНИЕ 1.a:

Пусть $\Delta_x$ - диагональ множества $X^2$, а $\Delta_Y$ - диагональ множества $Y^2$. Покажите, что если отношение $R_1 \subset X\times Y$ и $R_2 \subset Y\times X$ таковы, что $\left(R_1 \circ R_2 = \Delta_X\right) \wedge \left(R_2 \circ R_1 = \Delta_Y\right)$, то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств $X$, $Y$

В аналогичной теме, но уже закрытой, был предложен план доказательства необходимых утверждений:

1) Доказать, что областью определения отношения $R_1$ является все множество $X$;
2) Доказать, что областью определения отношения $R_2$ является все множество $Y$;
3) Доказать функциональность $R_1$ и $R_2$;
4) Доказать, что заданные $R_1$ и $R_2$ отображения являются обратными.

Согласно предложенному плану, я постарался расписать доказательство:

1)Пусть $x$ - произвольный элемент из $X$. Пара $\left(x,x\right) \in \left(R_1 \circ R_2\right) = \Delta_X$, тогда $\exists y \left(xR_1y\right)$.
2)Пусть $y_1$ - произвольный элемент из $Y$. Пара $\left(y_1,y_1\right) \in \left(R_2 \circ R_1\right) = \Delta_Y$, тогда $\exists x_1 \left(y_1R_2x_1\right)$.

Здесь хочу остановиться на понимании самого вопроса функциональности отношения, определенного Зоричем. $R$ функционально, если справедливо следующее выражение:

$$\left(xRy_1\right) \wedge \left(xRy_2\right) \Rightarrow \left(y_1 = y_2) (*)$$

Поэтому необходимо прийти к инъективности, хотя оно тут и не применимо, отношений $R_1$ и $R_2$.


3)Пусть $xR_1y_1$. Из п.2 имеем следующее: $\exists x_1: y_1R_2x_1$.Тогда из $\left(xR_1y_1\right)\wedge \left(y_1R_2x_1\right)$ $\in \left(R_2 \circ R_1\right) = \Delta_X$ $\Rightarrow$ $x = x_1$.

Пусть$yR_2x$. Из п.1. имеем следующее: $\exists x: xR_1y_2$.Тогда из $\left(y_1R_2x\right)\wedge \left(xR_1y_2\right)$ $\in \left(R_1 \circ R_2\right) = \Delta_Y$ $\Rightarrow$ $y_1 = y_2$.

Из полученного можно сделать вывод, что выражение (*) истинно для обоих отношений, что является доказательством их функциональности.

4) Инъективность этих отображений была доказана в п.3. $\Rightarrow$ отношения задают взаимообратные отображения.

Lia: Название темы исправлено на более информативное.
Добавлять сюда новых задач не нужно. Создайте другую тему.

[khasanov.sm]

Задание 1.b:

Пусть $R\subset X^2$. Покажите, что условие транзитивности отношения $R$ равносильно тому, что $R \circ R \subset R$.

Из определения транзитивности отношения R, определенного на множесте $X$ следует, что справедливо следующее:

$$\begin{cases}(x_1Rx_2)\\ (x_2Rx_3)\end{cases} \Rightarrow (x_1Rx_3)$$

То есть данное отношение определено между любыми двумя элементами $X$. Из условия $R \circ R \subset R$ следует, что данная композиция есть множество упорядоченных пар $(x_1,x_2)$ и в силу того, что $R$ определено на всем множестве $X$, эта композиция будет содержать всевозможные пары. Из сказанного можно заключить справедливость предположения задачи.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- уберите картинки, пожалуйста, и наберите формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

На всякий случай повторю (см. выше): новых задач тут размещать не нужно.

[oniksofers]

Cначала, как по мне, надобно доказывать функциональность отношений $R_{1}$ и $R_{2}$.

[khasanov.sm]

oniksofers в сообщении #1371488 писал(а):

Cначала, как по мне, надобно доказывать функциональность отношений $R_{1}$ и $R_{2}$.

Так я это и сделал? Вопрос в том, верно ли?