2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Это была присказка о том, как искать вероятность $\mathsf P(\min(X_1, X_2) < x)$. Она не закончена, но вы сказали, что всё поняли. Вот тогда вам сказка.

Вероятность
$$
\mathsf P(\min(X_1, X_2) < x, \min (X_1, X_2, X_3) < y )
$$
есть вероятность наступления события $\{ \min (X_1, X_2) < x \} \cap \{ \min (X_1, X_2, X_3) < y \}$. Пусть первое событие $B$, второе $A$. Как переписать $\mathsf P(A \cap B)$ через условную вероятность? Допустим теперь, что вы знаете, как это сделать. Тогда легко анализировать $\mathsf P( \min (X_1, X_2, X_3) < y)$ при наложенном условии $\mathsf P(\min (X_1, X_2)) < x$. Что можно сказать в случае $y \geqslant x$?

Когда с этим разберётесь, тогда можно будет взяться за самую тяжкую часть --- $y < x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 02:32 


20/01/19
22
Цитата:
Как переписать $\mathsf P(A \cap B)$ через условную вероятность?

Как $\mathsf P(A \cap B)=P(B)P(A|B)=P(AB)$?
Но что в данном случае будет являть собой в данном случае $P(A|B)$ я не понимаю.
Цитата:
Что можно сказать в случае $y \geqslant x$?

Что $P(B)=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
idcradle в сообщении #1370353 писал(а):
что в данном случае будет являть собой в данном случае $P(A|B)$ я не понимаю.

$$
\mathsf P (\min(X_1, X_2, X_3) < y \ | \min(X_1, X_2) < x)
$$
согласно определениям $A$ и $B$, которые мы ввели.

idcradle в сообщении #1370353 писал(а):
Что $P(B)=0$?

Нет, стоп. $B$ --- это условие, зависящее от параметра $x$. Вот задали мы $x$. Тогда вероятность $P(B)$ это число.

Дали нам число $y \geqslant x$ и сказали, что имеет место событие $B$. Надо найти вероятность наступления $A$ при наложенном ограничении.

-- 21.01.2019 в 02:52 --

Совсем уж неприлично наводящий вопрос. При $y \geqslant x$ от $X_3$ хоть что-нибудь зависит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 03:35 


20/01/19
22
Цитата:
$$ \mathsf P (\min(X_1, X_2, X_3) < y \ | \min(X_1, X_2) < x) $$
согласно определениям $A$ и $B$, которые мы ввели.

Это понимаю.
Цитата:
Тогда вероятность $P(B)$ это число.

Это тоже понимаю.
Цитата:
Дали нам число $y \geqslant x$ и сказали, что имеет место событие $B$. Надо найти вероятность наступления $A$ при наложенном ограничении.

Вот это не совсем понимаю. Ну дали, да, но каким образом наложенное ограничение повлияет на $P(A)$ не совсем понимаю.
Цитата:
Совсем уж неприлично наводящий вопрос. При $y \geqslant x$ от $X_3$ хоть что-нибудь зависит?

Нет? т.к. идем покоординатно?
Простите :С

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 03:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Пусть есть функция $\min$ от нескольких чисел. Если туда запихать ещё одно число, $\min$ увеличиться может? Остаться прежним? Уменьшиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 03:44 


20/01/19
22
StaticZero в сообщении #1370361 писал(а):
Пусть есть функция $\min$ от нескольких чисел. Если туда запихать ещё одно число, $\min$ увеличиться может? Остаться прежним? Уменьшиться?


может или уменьшиться или остаться прежним в зависимости от нового числа

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 03:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Теперь известно, что $\min(X_1, X_2) < x \leqslant y$. Добавим туда число $X_3$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 03:47 


20/01/19
22
StaticZero в сообщении #1370363 писал(а):
Теперь известно, что $\min(X_1, X_2) < x \leqslant y$. Добавим туда число $X_3$...

сохранится? т.к. у нас строгое наложение условий на $\min(X_1, X_2, X_3) < x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 03:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Следуйте чёткой логике. Вы сказали, что от добавления числа под знак минимума он становится не больше того, что было прежде:
$$
\min(X_1, X_2, X_3) \leqslant \min(X_1, X_2) < x \leqslant y
$$

-- 21.01.2019 в 03:49 --

Вы увидели, как наложенное условие изменило вероятность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 03:52 


20/01/19
22
Цитата:
Следуйте чёткой логике. Вы сказали, что от добавления числа под знак минимума он становится не больше того, что было прежде:
$$ \min(X_1, X_2, X_3) \leqslant \min(X_1, X_2) < x \leqslant y $$

Да, это понятно.
вероятность уменьшилась, т.к. добавилось доп. условие ограничения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 04:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
idcradle в сообщении #1370366 писал(а):
вероятность уменьшилась, т.к. добавилось доп. условие ограничения?

:facepalm: нет. У вас было ограничение в виде $\min(X_1, X_2) < x$. Если мы добавляем под знак минимума число, то он не вырастет, то есть $\min(X_1, X_2, X_3) < x$. С другой стороны, $x \leqslant y$. Отсюда $\min(X_1, X_2, X_3) < y$.

То есть если $x \leqslant y$ при заданном условии $B$ событие $A$ выполняется автоматически. Чему тогда равна $\mathsf P(A | B)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 04:25 


20/01/19
22
StaticZero в сообщении #1370367 писал(а):
idcradle в сообщении #1370366 писал(а):
вероятность уменьшилась, т.к. добавилось доп. условие ограничения?

:facepalm: нет. У вас было ограничение в виде $\min(X_1, X_2) < x$. Если мы добавляем под знак минимума число, то он не вырастет, то есть $\min(X_1, X_2, X_3) < x$. С другой стороны, $x \leqslant y$. Отсюда $\min(X_1, X_2, X_3) < y$.

Ясно-понятно :с
Цитата:
То есть если $x \leqslant y$ при заданном условии $B$ событие $A$ выполняется автоматически. Чему тогда равна $\mathsf P(A | B)$?

Ну, получается, что она должна быть равна $P(B)=\min(X_1, X_2)$,т.к.
$P(A|B)=P(\min(X_1, X_2, X_3)<y, \min(X_1, X_2)<x)$, 1е как А вып-ся автом

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
idcradle в сообщении #1370368 писал(а):
$P(B)=\min(X_1, X_2)$

С одной стороны стоит вероятность события. С другой стороны случайная величина. Что это за равенство вообще?

Если событие $A$ выполняется автоматически при условии $B$, то это как минимум означает, что $B \subset A$. В этом случае $\mathsf P(A | B)$ это просто число. Какое же?

У меня руки опустились уже. Задача не столь тривиальная, чтобы её можно было самостоятельно решить и притом в принципе не знать, кто такие события, кто такие случайные величины, писать равенства как выше. Вы откуда её взяли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 11:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀

(Оффтоп)

Откуда. Щас повангую. Времени конец сессии. БРС. Не добрал баллов, задали для самостоятельного решения. Добирать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение минимумов
Сообщение21.01.2019, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero

(Оффтоп)

А ещё интеграл в $\mathbb R^n$ надо взять. Хоть и по простой области. Бррррррр

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group