Совместное распределение минимумов

[StaticZero]

Это была присказка о том, как искать вероятность $\mathsf P(\min(X_1, X_2) < x)$. Она не закончена, но вы сказали, что всё поняли. Вот тогда вам сказка.

Вероятность

$$ \mathsf P(\min(X_1, X_2) < x, \min (X_1, X_2, X_3) < y ) $$

есть вероятность наступления события $\{ \min (X_1, X_2) < x \} \cap \{ \min (X_1, X_2, X_3) < y \}$. Пусть первое событие $B$, второе $A$. Как переписать $\mathsf P(A \cap B)$ через условную вероятность? Допустим теперь, что вы знаете, как это сделать. Тогда легко анализировать $\mathsf P( \min (X_1, X_2, X_3) < y)$ при наложенном условии $\mathsf P(\min (X_1, X_2)) < x$. Что можно сказать в случае $y \geqslant x$?

Когда с этим разберётесь, тогда можно будет взяться за самую тяжкую часть --- $y < x$.

[idcradle]

Цитата:

Как переписать $\mathsf P(A \cap B)$ через условную вероятность?

Как $\mathsf P(A \cap B)=P(B)P(A|B)=P(AB)$?
Но что в данном случае будет являть собой в данном случае $P(A|B)$ я не понимаю.

Цитата:

Что можно сказать в случае $y \geqslant x$?

Что $P(B)=0$?

[StaticZero]

idcradle в сообщении #1370353 писал(а):

что в данном случае будет являть собой в данном случае $P(A|B)$ я не понимаю.

$$ \mathsf P (\min(X_1, X_2, X_3) < y \ | \min(X_1, X_2) < x) $$

согласно определениям $A$ и $B$, которые мы ввели.

idcradle в сообщении #1370353 писал(а):

Что $P(B)=0$?

Нет, стоп. $B$ --- это условие, зависящее от параметра $x$. Вот задали мы $x$. Тогда вероятность $P(B)$ это число.

Дали нам число $y \geqslant x$ и сказали, что имеет место событие $B$. Надо найти вероятность наступления $A$ при наложенном ограничении.

-- 21.01.2019 в 02:52 --

Совсем уж неприлично наводящий вопрос. При $y \geqslant x$ от $X_3$ хоть что-нибудь зависит?

[idcradle]

Цитата:

$$ \mathsf P (\min(X_1, X_2, X_3) < y \ | \min(X_1, X_2) < x) $$

согласно определениям $A$ и $B$, которые мы ввели.

Это понимаю.

Цитата:

Тогда вероятность $P(B)$ это число.

Это тоже понимаю.

Цитата:

Дали нам число $y \geqslant x$ и сказали, что имеет место событие $B$. Надо найти вероятность наступления $A$ при наложенном ограничении.

Вот это не совсем понимаю. Ну дали, да, но каким образом наложенное ограничение повлияет на $P(A)$ не совсем понимаю.

Цитата:

Совсем уж неприлично наводящий вопрос. При $y \geqslant x$ от $X_3$ хоть что-нибудь зависит?

Нет? т.к. идем покоординатно?
Простите :С

[StaticZero]

Пусть есть функция $\min$ от нескольких чисел. Если туда запихать ещё одно число, $\min$ увеличиться может? Остаться прежним? Уменьшиться?

[idcradle]

StaticZero в сообщении #1370361 писал(а):

Пусть есть функция $\min$ от нескольких чисел. Если туда запихать ещё одно число, $\min$ увеличиться может? Остаться прежним? Уменьшиться?

может или уменьшиться или остаться прежним в зависимости от нового числа

[StaticZero]

Теперь известно, что $\min(X_1, X_2) < x \leqslant y$. Добавим туда число $X_3$...

[idcradle]

StaticZero в сообщении #1370363 писал(а):

Теперь известно, что $\min(X_1, X_2) < x \leqslant y$. Добавим туда число $X_3$...

сохранится? т.к. у нас строгое наложение условий на $\min(X_1, X_2, X_3) < x$?

[StaticZero]

Следуйте чёткой логике. Вы сказали, что от добавления числа под знак минимума он становится не больше того, что было прежде:

$$ \min(X_1, X_2, X_3) \leqslant \min(X_1, X_2) < x \leqslant y $$

-- 21.01.2019 в 03:49 --

Вы увидели, как наложенное условие изменило вероятность?

[idcradle]

Цитата:

Следуйте чёткой логике. Вы сказали, что от добавления числа под знак минимума он становится не больше того, что было прежде:

$$ \min(X_1, X_2, X_3) \leqslant \min(X_1, X_2) < x \leqslant y $$

Да, это понятно.
вероятность уменьшилась, т.к. добавилось доп. условие ограничения?

[StaticZero]

idcradle в сообщении #1370366 писал(а):

вероятность уменьшилась, т.к. добавилось доп. условие ограничения?

нет. У вас было ограничение в виде $\min(X_1, X_2) < x$. Если мы добавляем под знак минимума число, то он не вырастет, то есть $\min(X_1, X_2, X_3) < x$. С другой стороны, $x \leqslant y$. Отсюда $\min(X_1, X_2, X_3) < y$.

То есть если $x \leqslant y$ при заданном условии $B$ событие $A$ выполняется автоматически. Чему тогда равна $\mathsf P(A | B)$?

[idcradle]

StaticZero в сообщении #1370367 писал(а):

idcradle в сообщении #1370366 писал(а):

вероятность уменьшилась, т.к. добавилось доп. условие ограничения?

нет. У вас было ограничение в виде $\min(X_1, X_2) < x$. Если мы добавляем под знак минимума число, то он не вырастет, то есть $\min(X_1, X_2, X_3) < x$. С другой стороны, $x \leqslant y$. Отсюда $\min(X_1, X_2, X_3) < y$.

Ясно-понятно :с

Цитата:

То есть если $x \leqslant y$ при заданном условии $B$ событие $A$ выполняется автоматически. Чему тогда равна $\mathsf P(A | B)$?

Ну, получается, что она должна быть равна $P(B)=\min(X_1, X_2)$,т.к.
$P(A|B)=P(\min(X_1, X_2, X_3)<y, \min(X_1, X_2)<x)$, 1е как А вып-ся автом

[StaticZero]

idcradle в сообщении #1370368 писал(а):

$P(B)=\min(X_1, X_2)$

С одной стороны стоит вероятность события. С другой стороны случайная величина. Что это за равенство вообще?

Если событие $A$ выполняется автоматически при условии $B$, то это как минимум означает, что $B \subset A$. В этом случае $\mathsf P(A | B)$ это просто число. Какое же?

У меня руки опустились уже. Задача не столь тривиальная, чтобы её можно было самостоятельно решить и притом в принципе не знать, кто такие события, кто такие случайные величины, писать равенства как выше. Вы откуда её взяли?

[Otta]

(Оффтоп)

Откуда. Щас повангую. Времени конец сессии. БРС. Не добрал баллов, задали для самостоятельного решения. Добирать.

[StaticZero]

(Оффтоп)

А ещё интеграл в $\mathbb R^n$ надо взять. Хоть и по простой области. Бррррррр