Проблема с сечением

[maxim555]

Боковые грани треугольной призмы ABCA1B1C1 — квадраты. Точки E и F — середины рёбер AA1 и B1C1 соответственно. Надо построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точку E перпендикулярно прямой BF.



Мне кажется, что я сделал что-то не так:

Спроецируем прямую $BF$ на плоскость $ABA_1B_1$, она перейдет в прямую $BB_1$. Это проекция наклонной, тогда чтобы прямая нашего сечения была перпендикулярна BF, она должна быть перпендикулярна и этой прямой. Проводим прямую $EI \perp BB_1$.

Аналогично проецируем $BF$ на $CC_1$ и проводим $EH \perp CC_1$.

Точки $I$ и $H$ лежат в одной плоскости, их соединяем.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой лежащей в ней прямой. Но угол между прямыми $IH$ и $BF$ не прямой. Что я делаю неправильно?

[Igrickiy(senior)]

maxim555 в сообщении #1370248 писал(а):

Надо построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точку E перпендикулярно прямой BF.

Попробуйте провести ЛЮБУЮ плоскость, перпедикулярную прямой BF.

[Someone]

maxim555 в сообщении #1370248 писал(а):

Что я делаю неправильно?

maxim555 в сообщении #1370248 писал(а):

Спроецируем прямую $BF$ на плоскость $ABA_1B_1$, она перейдет в прямую $BB_1$.

[maxim555]

Someone в сообщении #1370257 писал(а):

maxim555 в сообщении #1370248 писал(а):

Что я делаю неправильно?

maxim555 в сообщении #1370248 писал(а):

Спроецируем прямую $BF$ на плоскость $ABA_1B_1$, она перейдет в прямую $BB_1$.

Понял. Проекция будет перпендикуляром из точки B на $A_1B_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$, в остальных аналогично.

[Someone]

maxim555 в сообщении #1370270 писал(а):

Проекция будет перпендикуляром из точки B на $A_1B_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$

Нет.

[maxim555]

Извините за опечатку, это точка F. Надо было мне рисунок прикладывать...

[Someone]

maxim555 в сообщении #1370311 писал(а):

Извините за опечатку, это точка F. Надо было мне рисунок прикладывать...

Да, проекция точки $F$ получается именно так. Это даёт проекцию $BF$ на плоскость $(AA_1B_1B)$. А что дальше?

maxim555 в сообщении #1370248 писал(а):

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой лежащей в ней прямой.

Это так. А признак перпендикулярности прямой и плоскости знаете?

[maxim555]

Someone в сообщении #1370521 писал(а):

maxim555 в сообщении #1370311 писал(а):

Извините за опечатку, это точка F. Надо было мне рисунок прикладывать...

Да, проекция точки $F$ получается именно так. Это даёт проекцию $BF$ на плоскость $(AA_1B_1B)$. А что дальше?

maxim555 в сообщении #1370248 писал(а):

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой лежащей в ней прямой.

Это так. А признак перпендикулярности прямой и плоскости знаете?

Дальше я делал через теорему о трех перпендикулярах: нашел проекции на "левую" переднюю и заднюю грани, через точку E провёл прямые, перпендикулярные проекциям. Прямая перпендикулярна проекции наклонной, а значит по теореме о трех перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной. Так получаем след в этих гранях, две получившиеся точки соединяем.

Можно как-то проще через признак? Где искать две пересекающиеся прямые?

[DeBill]

maxim555 в сообщении #1370618 писал(а):

Можно как-то проще

Можно, если использовать условия задачи (боковые грани - квадраты, и это что-то (много!) значит).

[Someone]

maxim555 в сообщении #1370618 писал(а):

Где искать две пересекающиеся прямые?

Естественно, в той плоскости, которую нужно построить. Они обе должны быть перпендикулярны прямой $BF$. Одну можно найти, зная признак перпендикулярности двух плоскостей. Другую нужно построить.

[TOTAL]

maxim555 в сообщении #1370618 писал(а):

Можно как-то проще через признак? Где искать две пересекающиеся прямые?

Можно проще, если не искать пересекающиеся прямые. Сдвиньте прямую $BF$ параллельно, пусть она проходит через центр грани. Тогда задача становится симметричной, ответ очевиден.

[Igrickiy(senior)]

TOTAL в сообщении #1370736 писал(а):

Сдвиньте прямую $BF$ параллельно, пусть она проходит через центр грани.

Можно и не двигать. Это ничего принципиально нового не добавляет.
Два вопросика:
1. Что за фигура $EHI$?
2. Как плоскость, в которой она лежит, расположена относительно боковой грани, содержащей $BF$?

[Igrickiy(senior)]

И под занавес:
3. Определить отношение площади сечения к площади боковой грани.