Помогите разобраться с кванторами

[NNDeaz]

Приветствую. Возник вопрос по кванторам.

Можно привести следующие варианты записи утверждения $\forall x \; \forall y \; P(x,y)$:
$\forall x \; \forall y \; (P(x,y))$
$(\forall x \; \forall y) \; (P(x,y))$
($\forall x) \; (\forall y) \; P(x,y)$
($\forall x \; \forall y) \; P(x,y)$

С формальной точки зрения, как правильно записать это? Я бы предположил, что $\forall x \;( \forall y \; P(x,y))$ ( В Зориче, например, изначально придается смысл следующим утверждениям: $\forall x \; P(x)$ и $\exists x \; P(x)$).

Пусть $K_i$ означает либо $\forall$, либо $\exists$. Тогда сложное утверждение
$ K_1x_1\, K_2x_2\, \ldots\, K_nx_n \, P(x_1, \ldots , x_n) $ запишется как $ K_1x_1\, (K_2x_2 (\, \ldots\, (K_nx_n \, P(x_1, \ldots , x_n)))) $.
Правильно ли так понимать утверждения с несколькими кванторами?

Часто можно встретить запись $ (K_1x_1)\, (K_2x_2)\, \ldots\, (K_nx_n) \, P(x_1, \ldots , x_n) $, но ведь в этом случае (если смотреть формально) не понятно, как построить отрицание, ведь изначально мы имеем только $\neg (\exists x \, P(x)) \Leftrightarrow \forall x \, \neg P(x)$ и $\neg (\forall x \, P(x)) \Leftrightarrow \exists x \, \neg P(x)$

[Igrickiy(senior)]

NNDeaz в сообщении #1370223 писал(а):

Можно привести следующие варианты записи утверждения $\forall x \; \forall y \; P(x,y)$

Не вдаваясь в обобщения, можно вербально изложить суть утверждения?

[NNDeaz]

Igrickiy(senior) в сообщении #1370228 писал(а):

Не вдаваясь в обобщения, можно вербально изложить суть утверждения?

Для любых $x$ и $y$ выполнятся свойство $P$. Можно было бы поставить и $\exists $.
Меня интересует именно, как с точки зрения мат. логики правильней записать это высказывание

[Someone]

$\forall x\forall yP(x,y)$ по умолчанию понимается как $\forall x(\forall y(P(x,y)))$. Аналогично для других комбинаций кванторов.

[Igrickiy(senior)]

Someone в сообщении #1370241 писал(а):

$\forall x\forall yP(x,y)$ по умолчанию понимается как $\forall x(\forall y(P(x,y)))$.

Примерно об этом я и спрашивал. Как вербализуется выражение, которое принято по умолчанию?
Зорич придерживается стандартного языка, принятого давным давно (Гудстейн, Клини...).
Скобки нужны там, где они вносят изменения в порядок записи и чтения, а поэтому синтаксис изменяет семантику. Здесь ничего этого не нужно.

[grizzly]

NNDeaz в сообщении #1370223 писал(а):

Часто можно встретить запись $ (K_1x_1)\, (K_2x_2)\, \ldots\, (K_nx_n) \, P(x_1, \ldots , x_n) $

Вот перечень наиболее употребимых нотаций (из англовики; там есть и более экзотические):

Цитата:

Variant notations include, for set X and set members x:
${\displaystyle (\exists {x})P\quad (\exists x\ .\ P)\quad \exists x\ \cdot \ P\quad (\exists x:P)\quad \exists {x}(P)\quad \exists _{x}\,P\quad \exists {x}{,}\,P\quad \exists {x}{\in }X\,P\quad \exists \,x{:}X\,P} $

Всё эти варианты обозначают одно и то же.

[NNDeaz]

Someone в сообщении #1370241 писал(а):

$\forall x\forall yP(x,y)$ по умолчанию понимается как $\forall x(\forall y(P(x,y)))$. Аналогично для других комбинаций кванторов.

Спасибо!

Кстати, мы имеем, что $\forall x\forall yP \Leftrightarrow \forall y\forall x P$.
А в более сложных утверждениях, как
$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3 \forall x_4 \forall x_5 \exists x_6 \forall x_7 \, P$
получается, что также можно переставлять как угодно $\forall x_3 \forall x_4 \forall x_5$? Мне кажется это очевидным и для $\exists$, но вдруг

grizzly в сообщении #1370247 писал(а):

Всё эти варианты обозначают одно и то же.

Если кванторов несколько, то строить отрицания проще с выражениями вида $\forall x(\forall y(P(x,y)))$, но это, наверное, дело вкуса.

[Igrickiy(senior)]

NNDeaz в сообщении #1370254 писал(а):

но это, наверное, дело вкуса.

Если дело вкуса не противоречит делу правил и логики, то можно всё

[Someone]

NNDeaz в сообщении #1370254 писал(а):

Мне кажется это очевидным и для $\exists$, но вдруг

Разные кванторы переставлять нельзя: $\forall x\exists yP(x,y)$ и $\exists y\forall xP(x,y)$ — существенно разные формулы.

[NNDeaz]

Someone в сообщении #1370260 писал(а):

Разные кванторы переставлять нельзя: $\forall x\exists yP(x,y)$ и $\exists y\forall xP(x,y)$ — существенно разные формулы.

Да, конечно. Я имел ввиду, что в этом случае также можно переставлять $\exists$, если они идут друг за другом.

В теории устойчивости можно встретить выражения вида
$ \forall \varepsilon >0 \; \forall t_0>0 \; \exists \delta=\delta(t_0,\varepsilon )>0 \; \forall t \ge t_0 \; (\ldots)$ -- с таким выражением связывается понятие устойчивости, а если $\delta$ не зависит от $t_0$, то используется термин равномерная устойчивость.

Так вот, если $\delta$ не зависит от $t_0$ мы ведь можем поменять кванторы $\forall$ и $\exists$? Т.е получить $ \forall \varepsilon >0 \; \exists \delta>0 \; \forall t_0>0 \; \forall t \ge t_0 \; (\ldots)$

Правильно ли я понимаю, что
$(\forall x\exists yP(x,y) \Leftrightarrow \exists y\forall xP(x,y))$ тогда и только тогда, когда $y$ можно выбрать не зависящим от $x$?

[Someone]

NNDeaz в сообщении #1370286 писал(а):

$(\forall x\exists yP(x,y) \Leftrightarrow \exists y\forall xP(x,y))$

Да.

[NNDeaz]

Спасибо еще раз!

Кстати, вспомнил еще один пример: можно определить равномерную сходимость последовательности функций

Цитата:

$\forall \varepsilon >0 \; \forall x \; \exists n \; \forall m \ge n \; |f_m(x)-f(x)|<\varepsilon$

Как поточечную сходимость

Цитата:

$\forall \varepsilon >0 \; \exists n \; \forall x \; \forall m \ge n \; |f_m(x)-f(x)|<\varepsilon$

В которой $n$ зависит только от $\varepsilon$.

[Otta]

Поточечная - первая. Равномерная - вторая.
Можно. Вы же только что спрашивали. Множество только должно быть одно.

[NNDeaz]

(удалено) -- разобрался


---
Еще один вопрос, $A \to B$ и $\forall x \; (A \to B)$ это ведь одно и тоже?
Просто мне не совсем понятно, зачем добавлять $\forall x$.

[Someone]

NNDeaz в сообщении #1370447 писал(а):

Еще один вопрос, $A \to B$ и $\forall x \; (A \to B)$ это ведь одно и тоже?
Просто мне не совсем понятно, зачем добавлять $\forall x$.

По умолчанию в математической логике обычно формула со свободными переменными интерпретируется так, будто на все свободные переменные навешаны кванторы всеобщности.
Или у Вас переменная $x$ не входит в $A$ и $B$? Тогда, конечно, обе формулы означают одно и то же, а зачем прицеплен квантор, надо спрашивать у того, кто его прицепил. Может быть, ему так удобно было (кстати, ситуация достаточно естественная).