Преобразование Лоренца.

[_20_]

Вопрос по видиолекции Герштейна С.С.
https://www.youtube.com/watch?v=Oq5JBATFHEk&list=PLzZPcCojoi_UmsYk1b1Cnv3EgjUC-ZrG-&index=1

На 54-ой минуте он говорит, что альфа равно гамма, но объяснение такое: для того, чтобы у нас всё сошлось. Нельзя же так? Может кто - нибудь объяснить, почему альфа равно гамма?
Ещё он чуть раньше вспоминает теорию групп, для чего и как она связана с преобразованием Лоренца?

[Geen]

_20_ в сообщении #1368887 писал(а):

для того, чтобы у нас всё сошлось.

Ну подставьте $x'=0$, затем $t'=0$ и решайте получившуюся систему...

-- 15.01.2019, 17:08 --

_20_ в сообщении #1368887 писал(а):

для чего и как она связана с преобразованием Лоренца?

Преобразования Лоренца образуют группу (мы так хотим).

[Munin]

Geen в сообщении #1368889 писал(а):

Преобразования Лоренца образуют группу (мы так хотим).

Не просто "мы так хотим", а потому что это система биекций (между координатными плоскостями $(x,y,z,t)$ и $(x',y',z',t'),$ охватывающими всё пространство-время), замкнутая относительно композиции и взятия обратной. Такая система отображений всегда будет группой.

-- 15.01.2019 20:45:50 --

_20_ в сообщении #1368887 писал(а):

На 54-ой минуте он говорит, что альфа равно гамма, но объяснение такое: для того, чтобы у нас всё сошлось.

$$\begin{gathered}\dfrac{\gamma x'+\alpha vt'}{\alpha\gamma+\alpha\delta v}=\alpha(x'+vt') \\ \dfrac{\gamma}{\alpha\gamma+\alpha\delta v}x'+\dfrac{\alpha v}{\alpha\gamma+\alpha\delta v}t'=\alpha x'+\alpha vt'\end{gathered}$$

И просто приравниваются коэффициенты при $x'$ и при $t'.$

-- 15.01.2019 20:53:47 --

_20_ в сообщении #1368887 писал(а):

Нельзя же так?...
Ещё он чуть раньше вспоминает теорию групп, для чего и как она связана с преобразованием Лоренца?

Вот как раз раньше надо было внимательно слушать. Идея в том, что преобразование "вперёд" со скоростью $v$ имеет обратное "назад" (это очевидно), и оно совпадает с другим преобразованием "вперёд" (вот это уже по причине группового свойства - преобразование "назад" принадлежит множеству преобразований "вперёд" и имеет ту же форму - или иногда про это говорят как про принцип относительности). А с каким именно? С преобразованием "вперёд" со скоростью $-v.$

И вот эти две вещи друг другу и приравниваются: слева от знака равенства обратное - потому что оно построено как "выразим нештрихованные переменные из штрихованных из тех же уравнений". А справа "минус $v$", потому что оно построено как "в тех же преобразованиях вставим другую скорость". Надо ещё сказать, что $\alpha(v)=\alpha(-v),\gamma(v)=\gamma(-v),\delta(v)=\delta(-v).$

[photon]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: более подходящий раздел.

[_20_]

спасибо, решил. Оба ваших совета пригодились. Теперь вопрос, дальше 1:07:30 Герштейн заявляет, что диагональные элементы должны быть одинаковы. Почему?

[Munin]

Я для себя оставлю здесь ссылочку на видео на другом сайте:
http://lectoriy.mipt.ru/lecture/TherPhys-FieldTh-L01-Gershtein-130213.01
Это то же самое, но с тайм-кодами.

-- 19.01.2019 14:40:07 --

_20_ в сообщении #1369917 писал(а):

Теперь вопрос, дальше 1:07:30 Герштейн заявляет, что диагональные элементы должны быть одинаковы. Почему?

Опять мы вспоминаем, что преобразования Лоренца образуют группу (это очень мощное требование). Значит, композиция двух последовательных преобразований Лоренца - произведение матриц - должна снова по форме быть каким-то другим преобразованием Лоренца - то есть, матрицей такого же вида, хотя возможно с какими-то другими $\gamma,v,f.$

-- 19.01.2019 14:46:49 --

Дальше по лекции Герштейн обсуждает случаи $f=0$ и $f=1/c^2,$ но умалчивает возможность отрицательного значения $f=-1/c^2.$

И не очень хорошо, что он говорит о предельной скорости, а не об инвариантной.

[_20_]

Ну хорошо, а вот если бы диагональные элементы были не одинаковые, то такая матрица тоже ведь означала бы какое - то преобразование? Почему это преобразование нам не подходит?

[Munin]

Потому что не образовало бы группу. Ну представьте: вы переходите из одной ИСО в другую ИСО', развивая (у себя, наблюдателя) какую-то добавочную скорость $v.$ Но вам там не понравилось, вы хотите обратно, придаёте себе добавочную скорость $-v,$ но оказываетесь не в первоначальной ИСО, а в какой-то новой ИСО''. И лес чудесный, и гусеницы на грибах разговаривают. И такое каждый раз: вы не возвращаетесь назад, а вас уносит всё страньше и страньше.

Это означало бы, что множество ИСО устроено каким-то странным замысловатым способом, в нём можно уходить куда-то далеко.

А нормальная, привычная ситуация состоит в том, что множество ИСО устроено простым замкнутым образом: указывая скорость, мы однозначно указываем "адрес" в этом множестве (ну, с точностью до поворота в пространстве, но это отложим). И существует возможность двигаться по этому множеству вперёд-назад "шагами", которые однозначно связаны с относительной скоростью. Это и есть группа (даже одномерная группа Ли, но не суть). Напомню, что такое группа:

1. Ассоциативность: $(\text{ИСО}_1\xrightarrow{\text{ПЛ}_1}\text{ИСО}_2\xrightarrow{\text{ПЛ}_2}\text{ИСО}_3)\xrightarrow{\text{ПЛ}_3}\text{ИСО}_4$  $=$  $\text{ИСО}_1\xrightarrow{\text{ПЛ}_1}(\text{ИСО}_2\xrightarrow{\text{ПЛ}_2}\text{ИСО}_3\xrightarrow{\text{ПЛ}_3}\text{ИСО}_4)$

Это обеспечивается просто тем, что преобразования Лоренца можно применять, находясь в любой ИСО, и тем, что они суть преобразования, то есть отображения. Композиция отображений всегда автоматически ассоциативна, к счастью. Начиная с $\text{ИСО}_1,$ мы попадаем в $\text{ИСО}_4$ и так и так, просто по построению композиции.
2. Наличие нейтрального элемента: $\text{ИСО}_1\xrightarrow{\text{ПЛ}_0}\text{ИСО}_1$

Среди преобразований Лоренца должно быть такое, которое оставляет нас в прежней ИСО (в какой бы ИСО мы его ни применили). Это выполняется: есть тождественное преобразование $x'=x,\quad t'=t,$ отвечающее нулевой относительной скорости.
3. Наличие обратного элемента: $\text{ИСО}_1\xrightarrow{\text{ПЛ}_1}\text{ИСО}_2\xrightarrow{\text{ПЛ}_2}\text{ИСО}_1$

Для каждого преобразования Лоренца должно существовать другое, которое возвращает нас обратно в прежнюю ИСО. Для этого надо, находясь уже в новой ИСО, начать двигаться обратно со скоростью $-v.$ (На самом деле, не обязательно именно с ней, главное - чтобы такое вообще существовало, ну а когда мы параметризуем все наши преобразования Лоренца параметром "скорость", мы просто подгоняем параметризацию заодно и под это свойство.)

В результате, мы имеем множество преобразований Лоренца, параметризованное одним действительным параметром (пока мы рассматриваем движение вдоль одной прямой): $\text{ПЛ}=\text{ПЛ}(v),\quad v\in\mathbb{R}.$ При этом

1. $(\text{ПЛ}(v_1)\circ\text{ПЛ}(v_2))\circ\text{ПЛ}(v_3)=\text{ПЛ}((v_1\oplus v_2)\oplus v_3)$  $=$  $\text{ПЛ}(v_1\oplus (v_2\oplus v_3))=\text{ПЛ}(v_1)\circ(\text{ПЛ}(v_2)\circ\text{ПЛ}(v_3))$

для некоторой операции сложения скоростей $v_1\oplus v_2,$ для которой есть даже явная формула
2. $\text{ПЛ}(0)=\mathrm{Id}$ (тождественное преобразование)
3. $\text{ПЛ}(-v)=(\text{ПЛ}(v_1))^{-1}$

И вопрос о том, образуют ли преобразования Лоренца группу, сводится к вопросу о том, образуют ли группу действительные числа с операцией $\oplus,$ - да, образуют. Можно даже пойти ещё дальше, и параметризовать их немного другим параметром $\theta$ ("быстротой") $\theta=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(\tfrac{1+v/c}{1-v/c}\bigr),$ $v=c\,\tfrac{e^\theta-e^{-\theta}}{e^\theta+e^{-\theta}},$ и тогда не было бы операции сложения скоростей, а было бы простое обычное сложение: $\theta_1+\theta_2.$ Но у быстроты не столь прозрачный физический смысл, так что с ней работают больше профессионалы.

Кроме аксиом группы, заодно такая параметризация $v$ даёт и удобные свойства непрерывности числовой прямой (именно это я упомянул как одномерную группу Ли): можно брать $v\to 0,$ можно раскладывать сами ПЛ и их функции в ряд вокруг 0 или вокруг заданной точки $v_0,$ можно рассматривать малые изменения $dv.$ Это будет использоваться. Но надо соблюдать осторожность: выясняется, что валидные значения скорости простираются только в ограниченном промежутке $v\in(-c,c).$

[_20_]

Цитата:

Кроме аксиом группы, заодно такая параметризация $v$ даёт и удобные свойства непрерывности числовой прямой (именно это я упомянул как одномерную группу Ли): можно брать $v\to 0,$ можно раскладывать сами ПЛ и их функции в ряд вокруг 0 или вокруг заданной точки $v_0,$ можно рассматривать малые изменения $dv.$

Про параметризацию - вы говорите о параметризации $\theta$ ? А разве значения самой скорости не непрерывны?
Само слово быстрота мне нравится, но выглядет как - то уж больно непривычно.

Теперь к главному:
то есть идея такая, мы не можем представить себе таких преобразований, чтобы они не образовывали группу, поэтому они образуют группу, а значит диагональные элементы должны быть одинаковы, правильно?

Вот я не совсем понимаю последний вывод, неужели нельзя найти множество матриц с неодинаковыми диагональными элементами, которые бы выполняли правила группы? И может быть наша матрица оказывается элементом такого множества матриц и мы не имеем права приравнивать диагональные элементы?

[Munin]

_20_ в сообщении #1370117 писал(а):

Про параметризацию - вы говорите о параметризации $\theta$ ? А разве значения самой скорости не непрерывны?

Нет, про $\theta$ я упомянул и забыл. Значения самой скорости непрерывны.

_20_ в сообщении #1370117 писал(а):

Теперь к главному:
то есть идея такая, мы не можем представить себе таких преобразований, чтобы они не образовывали группу, поэтому они образуют группу

Не совсем так. Свойство быть группой совершенно естественно и с физической, и с математической стороны. Любая система преобразований, максимально расширенная по композиции, будет группой (или полугруппой, если у нас будут необратимые преобразования).

Но вопрос в том, чтобы та группа, которая возникает, могла бы быть параметризована одним параметром - скоростью начала отсчёта. Это естественно с физической стороны? Если мы не накладываем этого требования, то получаем слишком много произвола в преобразованиях, то есть преобразования должны быть заданы ещё какими-то "скрытыми параметрами".

(Оффтоп)

(Кстати, вполне законно это реально происходит в ОТО, где рассматриваются преобразования, скажем так, имеющие произвольную скорость в каждой отдельной точке - как минимум.)

_20_ в сообщении #1370117 писал(а):

поэтому они образуют группу, а значит диагональные элементы должны быть одинаковы, правильно? Вот я не совсем понимаю последний вывод, неужели нельзя найти множество матриц с неодинаковыми диагональными элементами, которые бы выполняли правила группы?

Нет, напрямую из группового свойства не следует равенство диагональных элементов. Вы невнимательны. Это следует из предыдущих выкладок, потому что это по сути означает $\alpha(v)=\gamma(v).$ А это мы уже разбирали на вашем предыдущем вопросе.

[_20_]

Цитата:

Нет, напрямую из группового свойства не следует равенство диагональных элементов. Вы невнимательны. Это следует из предыдущих выкладок, потому что это по сути означает $\alpha(v)=\gamma(v).$ А это мы уже разбирали на вашем предыдущем вопросе.

То, что альфа = гамма я убедился. Но вот, как из этого следует, что $f_1 = f_2$ я не понимаю.

Я сам прорешал до этого момента, методом подстановки, и вот, что у меня получилось:
$\gamma_3 x - \gamma_3 v_3 t = \gamma_1 \gamma_2 ((1-\frac{\delta_1}{\gamma_1}v_2)x - (v_1 + v_2))t$
$\delta_3 x - \gamma_3 t = \gamma_1 \gamma_2 ((\frac{\delta_2}{\gamma_2})x - (1 - \frac{\delta_2}{\gamma_2} v_1))t$

Вот теперь нам надо принять, что $\frac{\delta_2}{\gamma_2} v_1 = \frac{\delta_1}{\gamma_1} v_2$.
Как это может следовать из $\alpha = \gamma $?

[Munin]

В ваших обозначениях это следует из $\gamma_3=\gamma_3$:

$$\begin{cases}\underline{\gamma_3}x - \gamma_3 v_3 t = \underline{\gamma_1 \gamma_2 ((1-\tfrac{\delta_1}{\gamma_1}v_2)}x - (v_1 + v_2))t \\ \delta_3 x - \underline{\gamma_3}t = \underline{\gamma_1 \gamma_2} ((\tfrac{\delta_2}{\gamma_2})x - \underline{(1 - \tfrac{\delta_2}{\gamma_2} v_1)}t)\end{cases}$$

(правильность не проверяю). Все подчёркнутые вещи равны друг другу.

[_20_]

Вот спасибо, а то я что - то не заметил.
(кстати, мне кажется это более наглядное объяснение, и знания теории групп не требует.)
Про правильность - с доской сверено, вроде сходится.
Ещё вопрос, я там дальше послушал, он говорит про поворот пространства - времени. Но для поворота нужна ось поворота, какая - нибудь одна, а там x и t - поворачиваются, а y и z - остабтся на месте. Или в 4х - мерном пространстве можно вращать вокруг двух осей?

[Munin]

_20_ в сообщении #1370170 писал(а):

(кстати, мне кажется это более наглядное объяснение, и знания теории групп не требует.)

Знания теории групп - не требует. А на тот факт, что это группа, - всё равно опирается. Просто этот факт для вас называют физическими словами.

_20_ в сообщении #1370170 писал(а):

Про правильность - с доской сверено, вроде сходится.

На доске там в других обозначениях

$$\begin{pmatrix} \gamma_3 & -\gamma_3 v_3 \\ -v_3 \gamma_3 f_3 & \gamma_3 \end{pmatrix}=\gamma_1 \gamma_2 \begin{pmatrix} 1+v_1 v_2 f_1 & -(v_1+v_2) \\ -(v_1 f_1+v_2 f_2) & 1+v_1 v_2 f_2 \end{pmatrix}.$$

Левый нижний элемент имеет сумму, а у вас - не имеет.

_20_ в сообщении #1370170 писал(а):

Ещё вопрос, я там дальше послушал, он говорит про поворот пространства - времени. Но для поворота нужна ось поворота, какая - нибудь одна, а там x и t - поворачиваются, а y и z - остабтся на месте. Или в 4х - мерном пространстве можно вращать вокруг двух осей?

Да.

На самом деле, наша привычка, что "для поворота нужна ось поворота" - она именно 3-мерная. Для поворота нужна пара осей, которые поворачиваются в плоскости, проходящей через них. Например, в 4-мерном евклидовом пространстве матрицы поворота могут быть такие:

$$\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & 0 & -\sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sin\alpha & 0 & 0 & \cos\alpha \end{pmatrix}.$$

Обратите внимание, что на 2-мерной плоскости нету никакой оси поворота: есть точка - центр поворота, и вокруг неё крутятся две единственные оси. В 3-мерном пространстве мы имеем три взаимно перпендикулярных оси, и когда две крутятся, третья остаётся на месте - отсюда у нас и возникает привычка, что поворот как-то связан с осью. В 4-мерном - у нас неподвижными остаются две оси, и вся плоскость, на них натянутая. В 5-мерном... и так далее, в $n$-мерном пространстве - неподвижными остаются $(n-2)$ осей.

С этим связано ещё одно явление, которое недоступно нам в нашем 3-мерном мире. Можно одновременно и независимо совершить два поворота для двух пар осей, которые по отношению друг к другу перпендикулярны. Эти два поворота могут быть на два разных не связанных угла. И вообще, в $2k$ и в $(2k+1)$-мерном пространстве можно одновременно независимо совершать $k$ поворотов.

[_20_]

Цитата:

Левый нижний элемент имеет сумму, а у вас - не имеет.

Да, я ошибся, переписывая с тетрадного листочка на форум. Там должно быть $\frac{\delta_2}{\gamma_2} + \frac{\delta_1}{\gamma_1}$

Но дальше я прихожу к равенству:
$\gamma_3 x - \gamma_3 v_3 t = \gamma_1 \gamma_2 ((1+v_1 v_2 f)x - (v_1 + v_2)t)$

И вот, если я сейчас поделю на $(1+v_1 v_2 f)$, то надо будет делить обе части уравнения и правую и левую. Но тогда не получится вывода о предельной скорости. Как быть?