задача о непрерывной функции f(f(x))=x

[daogiauvang]

Пусть $f:R \to R $ непрерывная функция, причем $f(f(x)=x$ для всех $x \in R$. Докажите что существует точка$x_o \in R$, в которой $f(x_o)=x_o$

[Brukvalub]

Если такой точки нет, то всегда должно быть выполнено одно из двух неравенств:

\[f(x) > x\]

или

\[f(x) < x\]

, причем, какое-то одно из них должно выполняться одновременно во всех точках. Далее Вы легко придете к противоречию с условием.

[daogiauvang]

Brukvalub писал(а):

Если такой точки нет, то всегда должно быть выполнено одно из двух неравенств:

\[f(x) > x\]

или

\[f(x) < x\]

, причем, какое-то одно из них должно выполняться одновременно во всех точках. Далее Вы легко придете к противоречию с условием.

так просто
спасибо огромное brukvalub

[ewert]

daogiauvang писал(а):

Brukvalub писал(а):

Если такой точки нет, то всегда должно быть выполнено одно из двух неравенств:

\[f(x) > x\]

или

\[f(x) < x\]

, причем, какое-то одно из них должно выполняться одновременно во всех точках. Далее Вы легко придете к противоречию с условием.

так просто
спасибо огромное brukvalub

Да, это оптимальный способ. И всё же для полноты картины предлагаю поразмыслить немного в другую сторону. Из тождества $f(f(x))\equiv x$ легко следует монотонность функции $f(x)$. А что тогда (с учётом этого же тождества) следует из монотонности?