2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 задача о непрерывной функции f(f(x))=x
Сообщение03.08.2008, 09:58 
Аватара пользователя
Пусть $f:R \to R $ непрерывная функция, причем $f(f(x)=x$ для всех $x \in R$. Докажите что существует точка$x_o \in R$, в которой $f(x_o)=x_o$

 
 
 
 
Сообщение03.08.2008, 10:06 
Аватара пользователя
Если такой точки нет, то всегда должно быть выполнено одно из двух неравенств: \[f(x) > x\] или \[f(x) < x\], причем, какое-то одно из них должно выполняться одновременно во всех точках. Далее Вы легко придете к противоречию с условием.

 
 
 
 
Сообщение03.08.2008, 10:55 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Если такой точки нет, то всегда должно быть выполнено одно из двух неравенств: \[f(x) > x\] или \[f(x) < x\], причем, какое-то одно из них должно выполняться одновременно во всех точках. Далее Вы легко придете к противоречию с условием.

так просто :oops:
спасибо огромное brukvalub

 
 
 
 
Сообщение03.08.2008, 12:24 
daogiauvang писал(а):
Brukvalub писал(а):
Если такой точки нет, то всегда должно быть выполнено одно из двух неравенств: \[f(x) > x\] или \[f(x) < x\], причем, какое-то одно из них должно выполняться одновременно во всех точках. Далее Вы легко придете к противоречию с условием.

так просто :oops:
спасибо огромное brukvalub

Да, это оптимальный способ. И всё же для полноты картины предлагаю поразмыслить немного в другую сторону. Из тождества $f(f(x))\equiv x$ легко следует монотонность функции $f(x)$. А что тогда (с учётом этого же тождества) следует из монотонности?

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group