Кольцо, нить

[Igrickiy(senior)]

dovlato в сообщении #1369362 писал(а):

Без интеграла - учесть, что сила, очевидно, не изменится, если вместо кольца поставить цилиндр того же радиуса, с осью, параллельной нити.

Любопытная очевидность. Обескураживающая.
Давайте рассмотрим предельный к Вашему цилиндру случай - случай двух параллельных нитей с постоянной линейной плотностью заряда $\lambda$ , расположенных на расстоянии $a$, и найдём силу их взаимодействия.

[wrest]

Igrickiy(senior) в сообщении #1369363 писал(а):

Если речь идет о нахождении силы взаимодействия, то, зная всем известное поле нити, с неизбежностью придётся поупражняться в интегрировании.

А, я кажись понял что вы хотели сказать. Нам надо знать только одно поле -- нити или кольца. От второго объекта нам надо знать расположение зарядов. А второе поле нам знать не надо, т.к. по третьему закону Ньютона силы действия кольца на нить и нити на кольцо равны и потому кольцо притягивает нить с той же силой с какой нить притягивает кольцо

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior) в сообщении #1369360 писал(а):

Рациональнее найти поле двумерного кольца во внутренней и внешней областях. Внутри поля нет, вне - поле обратно пропорционально расстоянию от его центра. И в этом поле расположена нить. Никакого интегрирования. Вполне можно предложить как олимпиадный вариант.

Вот только нужно понимать, что такое поле кольца - это будет не электрическое поле и даже не проекция электрического поля на плоскость кольца. Хотя бы
а) из соображений размерности
б) хотя это поле создается электрическими зарядами, оно действует на "заряд" с размерностью [Кл]/[м].

А раз это поле не электрическое, то нужно обосновать, что двумерный аналог теоремы Гауса к нему применим.

После этого, да, можно и без интегралов.

wrest в сообщении #1369361 писал(а):

А без интеграла как поле нити посчитать "на пальцах"?

Это как раз без проблем. Три кита, три составные части - поле точечного заряда, поле нити и поле плоскости (равномерно заряженных), считаются по т. Гаусса без интегралов только из соображений симметрии.

wrest в сообщении #1369361 писал(а):

А мне вот кажется, что намного немного рациональней найти поле нити, тем боле что оно и так всем известно. И в этом поле расположено кольцо. И прощее.

Тогда интегралы (это путь который был обозначен в первом ответе в теме)

dovlato в сообщении #1369362 писал(а):

Без интеграла - учесть, что сила, очевидно, не изменится, если вместо кольца поставить цилиндр того же радиуса, с осью, параллельной нити.

Плотность заряда цилиндра какая?

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1369372 писал(а):

Тогда интегралы (это путь который был обозначен в первом ответе в теме)

Да не нужны интегралы! Дуги, образованные двумя секущими проходящими через нить, будут притягиваться с равными силами но направленными строго противоположно, то есть с нулевой результирующей. Это следует из того что малые дуги (которые равны стягивающим их хордам) будут себя так вести, это даже до Ньютона древние греки умели...

-- 17.01.2019, 17:45 --

EUgeneUS в сообщении #1369372 писал(а):

Плотность заряда цилиндра какая?

Видимо имелось в виду что суммарный заряд цилиндра такой же как у кольца.
Но я не уловил чем помогает цилиндр.

[dovlato]

EtCetera в сообщении #1369305 писал(а):

Мне кажется, в этой задаче самое интересное — ответ.

(Ответ)

Если нигде не ошибся, то искомая сила взаимодействия равна 0 при $k<1$ и обратно пропорциональна $k$ при $k>1$.

Также очень интересен вопрос о том, можно ли получить ответ, не вычисляя никаких интегралов (по аналогии с задачей о равномерно заряженной сфере и точечном заряде).

У меня тот же ответ. Предлагаю взамен кольца представить соосный цилиндр с тем же зарядом - и перейти к пределу при неограниченно растущей его длине.

[Igrickiy(senior)]

dovlato в сообщении #1369389 писал(а):

Предлагаю взамен кольца представить соосный цилиндр с тем же зарядом - и перейти к пределу при неограниченно растущей его длине.

Это уже другая задача.

[dovlato]

Разве?

[Munin]

Igrickiy(senior) в сообщении #1369360 писал(а):

По сути.
Относительно взаимодействия нити и кольца. Рациональнее найти поле двумерного кольца во внутренней и внешней областях. Внутри поля нет, вне - поле обратно пропорционально расстоянию от его центра. И в этом поле расположена нить. Никакого интегрирования. Вполне можно предложить как олимпиадный вариант.

Именно в этом и состоит задача, но замаскированно. И именно поэтому авторская формулировка лучше как олимпиадная задача. А данная формулировка - это уже прямая задача на вычисления (точнее, на вспоминание теорем), вся "олимпиадность" в ней решена.

-- 17.01.2019 21:33:59 --

EUgeneUS в сообщении #1369372 писал(а):

Вот только нужно понимать, что такое поле кольца - это будет не электрическое поле и даже не проекция электрического поля на плоскость кольца...
А раз это поле не электрическое, то нужно обосновать, что двумерный аналог теоремы Гаусса к нему применим.

Применим, потому что это поле есть решение двумерного уравнения Лапласа (или Пуассона) $\Delta_2 u=0.$

dovlato в сообщении #1369389 писал(а):

Предлагаю взамен кольца представить соосный цилиндр с тем же зарядом - и перейти к пределу при неограниченно растущей его длине.

Ну, это "раскрыть карты". С кольцом гораздо изящнее.

[wrest]

Не понимаю зачем искать поле кольца. Ну нашли вы его, и причем нашли только в плоскости кольца. Дальше-то надо считать силу, действующую на нить в этом поле. А нить-то не в плоскости кольца.

Зато если искать поле нити, то найти его можно сразу во всем пространстве, то есть для всех точек кольца и без всяких интегралов при том (с точностью до коэффициента, но замечу что точный ответ-то для нити снаружи кольца никто и не привёл, только качественный).

[dovlato]

$$\frac1{\varepsilon_0k}\quad (k>1)$$

[Igrickiy(senior)]

wrest в сообщении #1369428 писал(а):

Зато если искать поле нити, то найти его можно сразу во всем пространстве, то есть для всех точек кольца и без всяких интегралов при том (с точностью до коэффициента, но замечу что точный ответ-то для нити снаружи кольца никто и не привёл, только качественный).

$F=2\pi{\lambda}^2k^2\frac{1+sgn(\mu-1)}{\mu}$
здесь:
$\lambda= $линейная плотность заряда на кольце и на нити

$\mu=\frac{l}{a}$ У ТС принято обозначение не $\mu$, а $k$ .
$k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$
$sgn(x)$ - функция знак числа.

[Munin]

Ещё красиво то, что задача решается "в два хода":
1. Сначала мы рассматриваем "кольцо в поле нити", замечаем, что поле нити есть решение двумерного Лапласа $\Delta_2 u=0,$ и ответ на задачу - "кольцо в поле нити в 2-мерной электростатике".
2. Потом уже в 2-мерном пространстве применяем 3-й закон Ньютона, и решаем задачу "нить (точка) в поле кольца". А поле кольца нам известно, и решение очевидно.

[DimaM]

Igrickiy(senior) в сообщении #1369360 писал(а):

Рациональнее найти поле двумерного кольца во внутренней и внешней областях. Внутри поля нет, вне - поле обратно пропорционально расстоянию от его центра.

Это, по-моему, просто неверно.
Поле кольца "внутри" (на расстояниях от оси меньше радиуса) меняет знак по мере удаления от плоскости кольца.

[wrest]

Munin в сообщении #1369438 писал(а):

Ещё красиво то, что задача решается "в два хода":
1. Сначала мы рассматриваем "кольцо в поле нити", замечаем, что поле нити есть решение двумерного Лапласа $\Delta_2 u=0,$ и ответ на задачу - "кольцо в поле нити в 2-мерной электростатике".
2. Потом уже в 2-мерном пространстве применяем 3-й закон Ньютона, и решаем задачу "нить (точка) в поле кольца". А поле кольца нам известно, и решение очевидно.

Зачем нужна 2-мерность если в 3-мерности всё решается без каких-либо проблем? Шаг в сторону все разрушает: допустим теперь, что ось кольца не параллельна нити.

[Munin]

DimaM в сообщении #1369553 писал(а):

Это, по-моему, просто неверно.
Поле кольца "внутри" (на расстояниях от оси меньше радиуса) меняет знак по мере удаления от плоскости кольца.

Тут надо аккуратно различать в разговоре задачу кольца в трёхмерном пространстве и кольца в двумерном пространстве (в двумерном уравнении Лапласа).