Сопротивление в бесконечной цепи

[topSC]

Пусть $r_n=1/2^{n-1}, \,\, n\geqslant 1.$ Тогда $R_1=2r_1=2.$ Показать, что $R_{n+1}=\dfrac{2R_n+2}{R_n+2}.$ Найти предел $\lim_{n\to \infty} R_n.$

[StaticZero]

Хитрая задачка, однако. Метод простого посмотрения приводит к неверному ответу, а работает лишь метод длительного посмотрения.

(Оффтоп)

Рассмотрим дерево сопротивлений в такой форме (на рис. $n = 4$)

$$ \begin{tabular}{c|c|c|c|} 1 & & & \\ 1 & 1/2 & & \\ 0 & 1/2 & 1/4 & \\ 0 & 0 & 1/4 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 & 1/8 \end{tabular} $$

Читать его нужно так: все резисторы в этом же столбце под данным соединены последовательно в одной ветке, все резисторы в столбце справа под данным соединены в другую ветку. Суммировать резисторы нужно снизу вверх, затем справа налево.
Поднимаемся на одну клетку вверх в правом столбце и суммируем последовательно

$$ \begin{tabular}{c|c|c|c|} 1 & & & \\ 1 & 1/2 & & \\ 0 & 1/2 & 1/4 & \\ 0 & 0 & 1/4 & 1/8 + 1/8 = 1/4 \\ \end{tabular} $$

Затем сдвигаемся на клетку влево и суммируем параллельно

$$ \begin{tabular}{c|c|c|c|} 1 & & \\ 1 & 1/2 & \\ 0 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1/(1/(1/4) + 1/(1/4)) \end{tabular} $$

Получаем

$$ \begin{tabular}{c|c|c|} 1 & & \\ 1 & 1/2 & \\ 0 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1/8 \\ \end{tabular} $$

Итерации повторять до полного просветления.

Как теперь с помощью дерева отсуммировать произвольную цепочку? Заметим, что таблица имеет самоподобный вид. Выделим часть

$$ R_2 = \begin{tabular}{c|c|c|} 1 & \\ 1 & R \\ \end{tabular}, \quad R = \begin{tabular}{c|} 1/2 \\ 1/2 \end{tabular} $$

Из соображений подобия легко видеть, что

$$ 2R = \begin{tabular}{c|} 1 \\ 1 \end{tabular} = R_1 $$

Получаем тогда

$$R_2 = \begin{tabular}{c|c|} 1 & \\ 1 & R_1/2 \end{tabular} $$

Если разделить $R_2$ пополам, то образуется таблица

$$ \dfrac{R_2}{2} = \begin{tabular}{c|c|c} 1/2 & \\ 1/2 & R_1/4 & \\ \end{tabular} = \begin{tabular}{c|c|} 1/2 & \\ 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1/4 \end{tabular} $$

и теперь если этот агрегат подставить вместо $R$, то будет получено $R_3$. Имеем общее соотношение вида

$$ R_{n+1} = \begin{tabular}{c|c|} 1 & \\ 1 & R_{n}/2 \end{tabular} $$

Окончательно заключаем

$$R_{n+1} = 1 + \frac{1}{1 + \cfrac{2}{R_{n}}} = 1 + \frac{R_n}{R_n+2} = \frac{2 R_n + 2}{R_n + 2}$$

ч.т.д.

Предел при $n \to \infty$ легко берётся: $a(a+2) = 2 a + 2$, $a = \sqrt 2$.

[miflin]

(Оффтоп)

Если "оскопить" задачу, т.е. потребовать найти только сопротивление бесконечной цепочки,
без нахождения рекуррентного соотношения, то можно рассуждать стандартно.
Пусть сопротивление бесконечной цепочки $R$. Отбросим первые два резистора.
Оставшаяся цепочка, опять же бесконечная, будет иметь сопротивление $\frac{R}{2}$,
т.к. сопротивления всех резисторов, по сравнению с исходной цепочкой, уменьшились вдвое
(если сравнение производить, начиная от начала обеих цепочек). И можно написать,
присоединив к оставшейся цепочке два отброшенных резистора:

$$R=\Omega+\frac{\frac{R\Omega}{2}}{\Omega+\frac{R}{2}}$$

Отсюда находим

$$R=\Omega\sqrt{2}$$

Писал, клюя носом, завтра утром, возможно, раскаюсь...

-- 13.01.2019, 22:25 --

Можно, кажется, тем же методом найти и рекуррентное соотношение, отбрасывая последние два резистора
в конечной цепочке, но пусть это сделает тот, кому не лень...

[LMA]

$(n+1)$-я цепь получается из $n$-й путём деления всех сопротивлений пополам и добавления двух резисторов.

[miflin]

miflin в сообщении #1368439 писал(а):

Можно, кажется, тем же методом найти и рекуррентное соотношение, отбрасывая последние два резистора

Утро вечера мудренее. Первые два (слева), разумеется.
Вообще обозначения в условии какие-то расхристанные.
Размерность в рекуррентном соотношении спрятана между строк, что не может не оскорблять взор.
Лучше бы на схеме вместо $\Omega$ написали $r$, как обычно делается в задачах такого типа.
Я в предыдущем сообщении под $\Omega$ подразумевал не обозначение единицы сопротивления (Ом),
а величину сопротивления $r$.
И рекуррентное соотношение выглядит более цивилизованно:

$$R_{n+1}=\frac{2r(R_n+r)}{R_n+2r}$$

Легко получается с учетом замечания LMA.
В этом плане решение StaticZero представляется несколько избыточным, не в обиду будь сказано...

[StaticZero]

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1368584 писал(а):

В этом плане решение StaticZero представляется несколько избыточным, не в обиду будь сказано...

Да и пёс с ним, есть не просит

[fred1996]

Зачем такие задачи тащить в олимпиадный раздел? Это в лучшем случае уровень районной олимпиады.

[miflin]

fred1996 в сообщении #1368718 писал(а):

Зачем такие задачи тащить в олимпиадный раздел?

А чтоб не приставали с "собственными попытками"