2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение13.01.2019, 20:19 
Изображение

Пусть $r_n=1/2^{n-1}, \,\, n\geqslant 1.$ Тогда $R_1=2r_1=2.$ Показать, что $R_{n+1}=\dfrac{2R_n+2}{R_n+2}.$ Найти предел $\lim_{n\to \infty} R_n.$

 
 
 
 Re: Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение13.01.2019, 22:15 
Аватара пользователя
Хитрая задачка, однако. Метод простого посмотрения приводит к неверному ответу, а работает лишь метод длительного посмотрения.

(Оффтоп)

Рассмотрим дерево сопротивлений в такой форме (на рис. $n = 4$)
$$
\begin{tabular}{c|c|c|c|}
1 & & & \\
1 & 1/2 & & \\
0 & 1/2 & 1/4 & \\
0 & 0 & 1/4 & 1/8 \\
0 & 0 & 0 & 1/8
\end{tabular}
$$
Читать его нужно так: все резисторы в этом же столбце под данным соединены последовательно в одной ветке, все резисторы в столбце справа под данным соединены в другую ветку. Суммировать резисторы нужно снизу вверх, затем справа налево.
Поднимаемся на одну клетку вверх в правом столбце и суммируем последовательно
$$
\begin{tabular}{c|c|c|c|}
1 & & & \\
1 & 1/2 & & \\
0 & 1/2 & 1/4 & \\
0 & 0 & 1/4 & 1/8 + 1/8 = 1/4 \\
\end{tabular}
$$
Затем сдвигаемся на клетку влево и суммируем параллельно
$$
\begin{tabular}{c|c|c|c|}
1 & & \\
1 & 1/2 & \\
0 & 1/2 & 1/4 \\
0 & 0 & 1/(1/(1/4) + 1/(1/4))
\end{tabular}
$$
Получаем
$$
\begin{tabular}{c|c|c|}
1 & & \\
1 & 1/2 & \\
0 & 1/2 & 1/4 \\
0 & 0 & 1/8  \\
\end{tabular}
$$
Итерации повторять до полного просветления.

Как теперь с помощью дерева отсуммировать произвольную цепочку? Заметим, что таблица имеет самоподобный вид. Выделим часть
$$
R_2 = \begin{tabular}{c|c|c|}
1 & \\
1 & R \\
\end{tabular}, \quad R = \begin{tabular}{c|}
1/2 \\
1/2 
\end{tabular}
$$
Из соображений подобия легко видеть, что
$$
2R = \begin{tabular}{c|}
1 \\
1
\end{tabular} = R_1
$$
Получаем тогда
$$R_2 = 
\begin{tabular}{c|c|}
1 & \\
1 & R_1/2 
\end{tabular}
$$
Если разделить $R_2$ пополам, то образуется таблица
$$
\dfrac{R_2}{2} =
\begin{tabular}{c|c|c}
1/2 & \\
1/2 & R_1/4 &  \\
\end{tabular} = \begin{tabular}{c|c|}
1/2 & \\
1/2 & 1/4 \\
0 & 1/4 \end{tabular}
$$
и теперь если этот агрегат подставить вместо $R$, то будет получено $R_3$. Имеем общее соотношение вида
$$
R_{n+1} =
\begin{tabular}{c|c|}
1 & \\
1 & R_{n}/2 
\end{tabular}
$$
Окончательно заключаем
$$R_{n+1} = 1 + \frac{1}{1 + \cfrac{2}{R_{n}}} = 1 + \frac{R_n}{R_n+2} = \frac{2 R_n + 2}{R_n + 2}$$
ч.т.д.

Предел при $n \to \infty$ легко берётся: $a(a+2) = 2 a + 2$, $a = \sqrt 2$.

 
 
 
 Re: Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение13.01.2019, 23:02 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Если "оскопить" :wink: задачу, т.е. потребовать найти только сопротивление бесконечной цепочки,
без нахождения рекуррентного соотношения, то можно рассуждать стандартно.
Пусть сопротивление бесконечной цепочки $R$. Отбросим первые два резистора.
Оставшаяся цепочка, опять же бесконечная, будет иметь сопротивление $\frac{R}{2}$,
т.к. сопротивления всех резисторов, по сравнению с исходной цепочкой, уменьшились вдвое
(если сравнение производить, начиная от начала обеих цепочек). И можно написать,
присоединив к оставшейся цепочке два отброшенных резистора:

$$R=\Omega+\frac{\frac{R\Omega}{2}}{\Omega+\frac{R}{2}}$$

Отсюда находим

$$R=\Omega\sqrt{2}$$

Писал, клюя носом, завтра утром, возможно, раскаюсь... :wink:


-- 13.01.2019, 22:25 --

Можно, кажется, тем же методом найти и рекуррентное соотношение, отбрасывая последние два резистора
в конечной цепочке, но пусть это сделает тот, кому не лень... :-)

 
 
 
 Re: Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение13.01.2019, 23:25 
$(n+1)$-я цепь получается из $n$-й путём деления всех сопротивлений пополам и добавления двух резисторов.

 
 
 
 Re: Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение14.01.2019, 13:02 
Аватара пользователя
miflin в сообщении #1368439 писал(а):
Можно, кажется, тем же методом найти и рекуррентное соотношение, отбрасывая последние два резистора

Утро вечера мудренее. Первые два (слева), разумеется.
Вообще обозначения в условии какие-то расхристанные.
Размерность в рекуррентном соотношении спрятана между строк, что не может не оскорблять взор. :D
Лучше бы на схеме вместо $\Omega$ написали $r$, как обычно делается в задачах такого типа.
Я в предыдущем сообщении под $\Omega$ подразумевал не обозначение единицы сопротивления (Ом),
а величину сопротивления $r$.
И рекуррентное соотношение выглядит более цивилизованно:
$$R_{n+1}=\frac{2r(R_n+r)}{R_n+2r}$$
Легко получается с учетом замечания LMA.
В этом плане решение StaticZero представляется несколько избыточным, не в обиду будь сказано...

 
 
 
 Re: Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение14.01.2019, 15:20 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1368584 писал(а):
В этом плане решение StaticZero представляется несколько избыточным, не в обиду будь сказано...

Да и пёс с ним, есть не просит 8-)

 
 
 
 Re: Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение14.01.2019, 20:00 
Аватара пользователя
Зачем такие задачи тащить в олимпиадный раздел? Это в лучшем случае уровень районной олимпиады.

 
 
 
 Re: Сопротивление в бесконечной цепи
Сообщение14.01.2019, 21:15 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1368718 писал(а):
Зачем такие задачи тащить в олимпиадный раздел?

А чтоб не приставали с "собственными попытками" :mrgreen:

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group