Электронный газ и термодинамика

[amon]

Заставили-таки тряхнуть склерозом.

$$ \left.\frac{\partial V}{\partial P}\right|_S=\frac{C_v}{C_p}\left.\frac{\partial V}{\partial P}\right|_T $$

Поскольку при малых $T$ с точностью до $T^2$ включительно $C_p=C_v,$ то

$$\left.\frac{\partial V}{\partial P}\right|_S=\left.\frac{\partial V}{\partial P}\right|_T$$

с этой же точностью. Последнее считается в лоб через уравнение состояния.

[StaticZero]

oniksofers в сообщении #1368328 писал(а):

У вас ведь нет никакого адиабатного процесса

Так мы как раз и обсуждаем адиабатический процесс.

oniksofers в сообщении #1368328 писал(а):

не от каких то других дифференциалов.

Можно обсудить вопрос о том, что дифференциал это линейная функция приращения, но предлагаю не делать этого - мне кажется, все поняли, что там написано.

-- 13.01.2019 в 18:12 --

amon в сообщении #1368334 писал(а):

Последнее считается в лоб через уравнение состояния.

Ну и ответ тот же самый вроде. Тогда либо ответ правильный, либо уравнение состояния неверное. Но оно вроде верное.

[amon]

StaticZero в сообщении #1368335 писал(а):

Ну и ответ тот же самый вроде.

Я ответ попозже посмотрю. Сейчас сходу ничего сказать не могу.

[amon]

StaticZero в сообщении #1368325 писал(а):

$$ p = -\left( \dfrac{\partial F}{\partial V} \right)_{T} = - \left(-\frac{2}{5} nE_F - \frac{b T^2}{3} n\right) = \frac{2}{5} n E_F + \frac{b T^2 n}{3} $$

Если подключить к дискуссии Ю.Б. Румера, то последний настаивает на таком уравнении состояния:

$$P=P_0\left(1+\frac{5\pi}{12}\left(\frac{kT}{\mu_0}\right)^2\right),$$

где

$$P_0=\frac{h^2}{m}\frac{1}{5}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^\frac{2}{3}\left(\frac{N}{V}\right)^\frac{5}{3}$$

- давление при нулевой температуре, а

$$\mu_0=\frac{h^2}{2m}\left(\frac{3N}{8\pi V}\right)^\frac{2}{3}$$

- положение химпотенциала при нуле, что, видимо, совпадает с Вашей $E_F.$ Совпадает ли $P_0$ c $\frac{2}{5} n E_F$ я пожалуй Вам оставлю проверять.

[StaticZero]

$$ \left(\frac{3}{8\pi} n\right)^{2/3} = \frac{(3\pi^2 n)^{2/3}}{4 \pi^2} $$

$E_F = (3 \pi^2 n)^{2/3}$, $\mu_0 \equiv E_F$,

$$ P_0 = \frac{1}{5} \frac{4 \pi^2 \hbar^2}{m} \cdot n \cdot \frac{(3\pi^2 n)^{2/3}}{4 \pi^2} = \frac{2}{5} \frac{\hbar^2}{2m} (3 \pi^2 n)^{2/3} \cdot n = \frac{2}{5} n E_F $$

$$ \Delta P = n \cdot \frac{\pi}{6} \frac{k^2 T^2}{(3 \pi^2 n)^{2/3} \frac{\hbar^2}{2m}} = n^{1/3} T^2 \pi^{-1/3} 3^{5/3} \frac{m}{\hbar^2} = \frac{\pi^{2/3}}{3^{2/3}} \frac{m}{\hbar^2} \cdot \frac{1}{3\pi} \cdot T^2 n^{1/3} = \frac{b T^2 n^{1/3}}{3 \pi} $$

Сдаётся мне, что либо у Румера не хватает ещё одной $\pi$ перед скобкой, либо у ЛЛ $\pi$ где-то пропущено. Я там ошибся со степенью $n$ в члене с температурой, но на ответ это не влияет.

[amon]

StaticZero в сообщении #1368484 писал(а):

что либо у Румера не хватает ещё одной $\pi$ перед скобкой, либо у ЛЛ $\pi$ где-то пропущено.

Обращаю Ваше внимание на то, что скатывая с Румера я писал $h$ вместо $\hbar$ не потому, что мне лень было набивать лишних четыре символа ;)

[StaticZero]

amon, но разница в ответах даже не в $2 \pi$...

[amon]

Видимо, надо сойтись на том, что $P=\frac{2}{5}E_Fn+o(T),$ и у Вас в этом смысле все правильно.