2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Докажите иррациональность
Сообщение11.01.2019, 18:45 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пусть $d_k$ последняя ненулевая цифра числа $k!$

Докажите что число $\overline{0,d_1 d_2 d_3\dots}$ иррационально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите иррациональность
Сообщение12.01.2019, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13690
Чего-то не пишет нито. Либо очень просто, либо очень непросто. У меня только устные соображения. Если отбросить первые две единички, то все цифры числа будут чётные. Есть парные цифры для случаев $D(...5!)=D(...6!)$. Есть особенности $D((5k)!)$. Попробовал показать существование периодической вставки произвольной длины - не получилось :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите иррациональность
Сообщение12.01.2019, 12:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris в сообщении #1367908 писал(а):
Либо очень просто, либо очень непросто.

Ни то, ни другое.
Задача олимпиадного типа, подошла бы для Всесоюзки.
Я решение знаю (не моё, конечно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите иррациональность
Сообщение12.01.2019, 13:37 
Заслуженный участник


26/05/14
735
Нерациональнось числа $\overline{0,d_1d_2d_3\cdots}$ равносильна непериодичности любых хвостов последовательности $d_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите иррациональность
Сообщение12.01.2019, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13690
Интересно, что $D((5k)!)$ однозначно определяет последующие четыре цифры. Просто по умножению цифры на $6,7,8,9$ или $1,2,3,4$:
$22428; 44846; 66264; 88682$. То есть надо как-то показать непериодичность последовательности $\{D((5k)!); k=K...\}$ :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите иррациональность
Сообщение12.01.2019, 23:48 
Заслуженный участник


26/05/14
735
Числовой эксперимент показывает что $D((5^pk)!)$ однозначно определяет следующие $5^p-1$ цифр.

-- 12.01.2019, 23:58 --

Тогда длина периода, если он есть, должна быть степенью пятёрки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group