Докажите иррациональность

[Ktina]

Пусть $d_k$ последняя ненулевая цифра числа $k!$

Докажите что число $\overline{0,d_1 d_2 d_3\dots}$ иррационально.

[gris]

Чего-то не пишет нито. Либо очень просто, либо очень непросто. У меня только устные соображения. Если отбросить первые две единички, то все цифры числа будут чётные. Есть парные цифры для случаев $D(...5!)=D(...6!)$. Есть особенности $D((5k)!)$. Попробовал показать существование периодической вставки произвольной длины - не получилось

[Ktina]

gris в сообщении #1367908 писал(а):

Либо очень просто, либо очень непросто.

Ни то, ни другое.
Задача олимпиадного типа, подошла бы для Всесоюзки.
Я решение знаю (не моё, конечно).

[slavav]

Нерациональнось числа $\overline{0,d_1d_2d_3\cdots}$ равносильна непериодичности любых хвостов последовательности $d_i$.

[gris]

Интересно, что $D((5k)!)$ однозначно определяет последующие четыре цифры. Просто по умножению цифры на $6,7,8,9$ или $1,2,3,4$:
$22428; 44846; 66264; 88682$. То есть надо как-то показать непериодичность последовательности $\{D((5k)!); k=K...\}$

[slavav]

Числовой эксперимент показывает что $D((5^pk)!)$ однозначно определяет следующие $5^p-1$ цифр.

-- 12.01.2019, 23:58 --

Тогда длина периода, если он есть, должна быть степенью пятёрки.