Замена четвёртых степеней ближайшими к ним кубами

[Ktina]

Каждую из точных четвёртых степеней $(0, 1, 16, 81, ...)$ заменим ближайшим к ней точным кубом.
Получим последовательность: $0, 1, 8, 64, 216, 729, 1331,\;\dots$

В OEIS этой последовательности нет. Теперь всегда проверять буду, чтобы не наколоться, как в прошлый раз.

Итак, два вопроса касаемо полученной последовательности:

а) Может ли четвёртая степень лежать ровно посередине... а, нет, стоп-машина! Не может, очевидно, и вопрос снимается. Ведь один из ближайших кубов будет чётным, а другой-нет.

б) Как доказать, что среди членов полученной последовательности бесконечно много чисел, дающих остаток 2 при делении на 3?

[Shadow]

Тут такое дело. Для всех $a>1$

$(a^4+4a)^3<(a^3+3)^4<(a^4+4a+1)^3$. Причем

$(a^4+4a+1)^3-(a^3+3)^4>(a^3+3)^4-(a^4+4a)^3$

Так что ближайший куб будет меньший - $(a^4+4a)^3$

Ну и при $a\equiv 1 \pmod 3$ будет бесконечно много радости.

[Ktina]

Shadow
Большое спасибо!