2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показательное неравенство.
Сообщение05.01.2019, 19:12 


13/05/13
21
Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение05.01.2019, 21:41 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
Докажем это неравенство для $a>b>e$. Дважды прологарифмируем исходное неравенство:$$a\ln b+\ln\ln a>b\ln a+\ln\ln b$$...и преобразуем его к следующему виду:$$\ln\ln a-\ln\ln b>ab\left(\frac{\ln a}{a}-\frac{\ln b}{b}\right)$$ Функция $f(x)=\ln\ln x$ возрастает на всей области определения, а функция $g(x)=\frac{\ln x}{x}$ убывает при $x>e$. Поэтому левая часть неравенства положительна, а правая — отрицательна при $a>b>e$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение05.01.2019, 23:27 
Заслуженный участник


26/06/07
1847
Tel-aviv
Пусть $\{a_1,a_2,...,a_n\}=\{b_1,b_2,...,b_n\}$, где $a_n>a_{n-1}>...>a_1>e$. Докажите, что:
$$a_1^{a_2^{{.}^{{.}^{{.}^{a_n}}}}}\geq b_1^{b_2^{{.}^{{.}^{{.}^{b_n}}}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение06.01.2019, 01:03 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
arqady
$4^3<3^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение06.01.2019, 13:59 
Заслуженный участник


26/06/07
1847
Tel-aviv
-- Вс янв 06, 2019 15:00:51 --

EtCetera Спасибо, исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение11.01.2019, 23:29 
Заслуженный участник


26/06/07
1847
Tel-aviv
Derise в сообщении #1366227 писал(а):
Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

Случай $a>b\geq1$ самый интересный, но не трудный;
Для $a\geq1>b$ это очевидно;
Случай $1>a>b>0$ лёгкий.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group