Показательное неравенство.

[Derise]

Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

[EtCetera]

Докажем это неравенство для $a>b>e$. Дважды прологарифмируем исходное неравенство:

$$a\ln b+\ln\ln a>b\ln a+\ln\ln b$$

...и преобразуем его к следующему виду:

$$\ln\ln a-\ln\ln b>ab\left(\frac{\ln a}{a}-\frac{\ln b}{b}\right)$$

Функция $f(x)=\ln\ln x$ возрастает на всей области определения, а функция $g(x)=\frac{\ln x}{x}$ убывает при $x>e$. Поэтому левая часть неравенства положительна, а правая — отрицательна при $a>b>e$.

[arqady]

Пусть $\{a_1,a_2,...,a_n\}=\{b_1,b_2,...,b_n\}$, где $a_n>a_{n-1}>...>a_1>e$. Докажите, что:

$$a_1^{a_2^{{.}^{{.}^{{.}^{a_n}}}}}\geq b_1^{b_2^{{.}^{{.}^{{.}^{b_n}}}}}$$

[EtCetera]

arqady
$4^3<3^4$

[arqady]

-- Вс янв 06, 2019 15:00:51 --

EtCetera Спасибо, исправил.

[arqady]

Derise в сообщении #1366227 писал(а):

Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

Случай $a>b\geq1$ самый интересный, но не трудный;
Для $a\geq1>b$ это очевидно;
Случай $1>a>b>0$ лёгкий.

[arqady]

Derise в сообщении #1366227 писал(а):

Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

Забыл записать доказательство и пришлось заново доказывать. Причём, что я имел в виду раньше, - ничего не помню, конечно.

1. Пусть $1>a>b>0$.

Тогда достаточно доказать, что

$$a^b>b^a$$

или

$$b\ln{a}>a\ln{b}$$

или

$$b\ln\frac{1}{a}<a\ln\frac{1}{b},$$

что верно;

2. $a\geq1>b>0$ или $b=1$.
В этих случаях неравенство очевидно;

3. $a>b>1.$
Нам нужно доказать, что:

$$a\ln{b}+\ln\ln{a}>b\ln{a}+\ln\ln{b}$$

или

$$\ln\frac{\ln{a}}{\ln{b}}>b\ln{a}-a\ln{b},$$

что очевидно верно для $b\ln{a}-a\ln{b}\leq0.$
То-бишь достаточно доказать наше неравенство для

$$b\ln{a}-a\ln{b}>0,$$

которое можно записать так:

$$\ln{b}+\ln\ln{a}>\ln{a}+\ln\ln{b}$$

или

$$\ln\frac{\ln{a}}{\ln{b}}>\ln{a}-\ln{b}.$$

Итак, достаточно доказать, что

$$\ln{a}-\ln{b}>b\ln{a}-a\ln{b}$$

или

$$\frac{a-1}{\ln{a}}>\frac{b-1}{\ln{b}},$$

что верно поскольку $f(x)=\frac{x-1}{\ln{x}}$ возрастает.