2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показательное неравенство.
Сообщение05.01.2019, 19:12 


13/05/13
21
Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение05.01.2019, 21:41 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
Докажем это неравенство для $a>b>e$. Дважды прологарифмируем исходное неравенство:$$a\ln b+\ln\ln a>b\ln a+\ln\ln b$$...и преобразуем его к следующему виду:$$\ln\ln a-\ln\ln b>ab\left(\frac{\ln a}{a}-\frac{\ln b}{b}\right)$$ Функция $f(x)=\ln\ln x$ возрастает на всей области определения, а функция $g(x)=\frac{\ln x}{x}$ убывает при $x>e$. Поэтому левая часть неравенства положительна, а правая — отрицательна при $a>b>e$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение05.01.2019, 23:27 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
Пусть $\{a_1,a_2,...,a_n\}=\{b_1,b_2,...,b_n\}$, где $a_n>a_{n-1}>...>a_1>e$. Докажите, что:
$$a_1^{a_2^{{.}^{{.}^{{.}^{a_n}}}}}\geq b_1^{b_2^{{.}^{{.}^{{.}^{b_n}}}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение06.01.2019, 01:03 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
arqady
$4^3<3^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение06.01.2019, 13:59 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
-- Вс янв 06, 2019 15:00:51 --

EtCetera Спасибо, исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение11.01.2019, 23:29 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
Derise в сообщении #1366227 писал(а):
Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

Случай $a>b\geq1$ самый интересный, но не трудный;
Для $a\geq1>b$ это очевидно;
Случай $1>a>b>0$ лёгкий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное неравенство.
Сообщение20.03.2019, 10:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
Derise в сообщении #1366227 писал(а):
Докажите, что для любых $a$ и $b$, т.ч. $a>b>0$, выполняется неравенство: $a^{b^a} > b^{a^b}$.
Всемехматовская олимпиада (2001).

Забыл записать доказательство и пришлось заново доказывать. Причём, что я имел в виду раньше, - ничего не помню, конечно. :mrgreen:

1. Пусть $1>a>b>0$.

Тогда достаточно доказать, что $$a^b>b^a$$ или $$b\ln{a}>a\ln{b}$$ или
$$b\ln\frac{1}{a}<a\ln\frac{1}{b},$$ что верно;

2. $a\geq1>b>0$ или $b=1$.
В этих случаях неравенство очевидно;

3. $a>b>1.$
Нам нужно доказать, что:
$$a\ln{b}+\ln\ln{a}>b\ln{a}+\ln\ln{b}$$
или $$\ln\frac{\ln{a}}{\ln{b}}>b\ln{a}-a\ln{b},$$
что очевидно верно для $b\ln{a}-a\ln{b}\leq0.$
То-бишь достаточно доказать наше неравенство для $$b\ln{a}-a\ln{b}>0,$$ которое можно записать так:
$$\ln{b}+\ln\ln{a}>\ln{a}+\ln\ln{b}$$ или
$$\ln\frac{\ln{a}}{\ln{b}}>\ln{a}-\ln{b}.$$
Итак, достаточно доказать, что
$$\ln{a}-\ln{b}>b\ln{a}-a\ln{b}$$ или
$$\frac{a-1}{\ln{a}}>\frac{b-1}{\ln{b}},$$ что верно поскольку $f(x)=\frac{x-1}{\ln{x}}$ возрастает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group