Здравствуйте!
Предлагаю Вашему вниманию доказательство ВТФ для всех n.
Большая теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от 0 целых чисел
x,y,z, для которых:

, (1)
где n>2.
Прежде чем представить общее доказательство, рассмотрим случай n=2, т.к. при доказательстве мы будем использовать формулы общего решения уравнения:

(2)
Для любого примитивного (состоящего из попарно взаимно простых чисел) решения x,y,z уравнения (2) хотя бы одно из чисел x или y чётно. Пусть y – чётно.
Известно, что для любых взаимно простых положительных целых чисел M и N<M разной чётности формулы:

(3)

(4)

(5)
представляют состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (2) с чётным y. Обратно, любое состоящее из положительных чисел примитивное решение x,y,z уравнения (2), для которого y чётно, выражается формулами (3)-(5), где M и N<M- взаимно простые числа разной чётности.
Для любого примитивного решения x,y,z уравнения (2) обязательно найдётся такое

, что

(6)
При возведении обеих частей уравнения (6) поочерёдно во 2, 3,..i-ю степень получим :


(7)

и т.д.
Перейдём к доказательству теоремы при n=4:

(8)
Перепишем уравнение в виде:

(9)
Это квадратное уравнение и поэтому ЛЮБОЕ примитивное решение этого уравнения выражается формулами:

(10)

(11)

(12)
где M и N<M- взаимно простые числа разной чётности.
Поэтому положим:

(13)
Тогда:

(14)

(15)

(16)

(17)
Т.к. y и z – взаимно простые, то

(18)
Уравнение (18) не имеет целочисленного решения , поэтому уравнение (9) также не имеет решения при выполнении условия (13). Так как ЛЮБОЕ состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (9), для которого y чётно, выражается формулами (10)-(12), где M и N<M- взаимно простые числа разной чётности, то при выполнении условия (13) должно выполняться исходное предположение (9). В итоге получено противоречие, и значит, исходное предположение (9) неверно. Т.е. уравнение (9), а значит, и (8) не имеет целочисленного решения, и теорема Ферма верна для n=4.
Аналогичны рассуждения для любого чётного n, т.е., для всех чётных n теорема Ферма
верна.
Перейдём к доказательству теоремы при n=3:

(19)
Только одно из чисел x , y , z может быть чётным. Без ограничения общности мы можем считать, что чётно число у.
Представим (19) в виде:

(20)
Обязательно найдётся такой

, что

(21)
Возведём обе части уравнения (21) в квадрат:

(22)

(23)
При выполнении условия (19)

(24)
Возведём обе части уравнения (24) в квадрат:

(25)
Если

-целое, то и

должно быть целым,
т.е., корни из x,y,z-целые:

(26)
При подстановке в (20) получим:

(27)
Это уравнение шестой степени относительно

,
но для всех чётных n (как доказано выше) теорема Ферма верна, поэтому рассмотрим случай, когда

- иррациональное.
Обратимся к (25). Пусть

-целое, тогда

(28)
Подставим это значение в (24):

(29)
Значит,

должен делиться на z, что невозможно из-за взаимной простоты x,y,z.
То есть,

должнo быть иррациональным.
Предположим, что

-целое.
Из (25) получим:

(30)
Видим, что слева –целое число, справа – произведение иррационального числа и иррационального выражения. Т.к.

иррациональное, то

(31)

(32)
Значит,

должнo делиться на z, что невозможно из-за взаимной простоты x,y,z.
То есть,

должно быть иррациональным.
Если теперь возведём обе части уравнения (24) в любую чётную степень, то по аналогии с предыдущими выкладками получим, что из предположения иррациональности

ни одна степень

не может быть целой, значит,

-трансцендентное. Но

является корнем уравнения (24) и не может быть таковым. Таким образом,

не может быть и иррациональным числом.
Рассуждения, аналогичные (19)-(32) справедливы для всех нечётных n. Т.е., теорема Ферма верна и для всех нечётных n.
Таким образом, приведённое выше доказательство Великой теоремы Ферма является полным элементарным.