Великая теорема Ферма. Полное элементарное доказательство.

[VALERI2]

Здравствуйте!
Предлагаю Вашему вниманию доказательство ВТФ для всех n.
Большая теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от 0 целых чисел
x,y,z, для которых:
$x^n+y^n=z^n$, (1)
где n>2.
Прежде чем представить общее доказательство, рассмотрим случай n=2, т.к. при доказательстве мы будем использовать формулы общего решения уравнения:
$x^2+y^2=z^2$ (2)
Для любого примитивного (состоящего из попарно взаимно простых чисел) решения x,y,z уравнения (2) хотя бы одно из чисел x или y чётно. Пусть y – чётно.
Известно, что для любых взаимно простых положительных целых чисел M и N<M разной чётности формулы:
$x=M^2-N^2$ (3)
$y=2MN$ (4)
$z=M^2+N^2$ (5)
представляют состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (2) с чётным y. Обратно, любое состоящее из положительных чисел примитивное решение x,y,z уравнения (2), для которого y чётно, выражается формулами (3)-(5), где M и N<M- взаимно простые числа разной чётности.
Для любого примитивного решения x,y,z уравнения (2) обязательно найдётся такое $k_1$, что
$x+y=z+k_1$ (6)
При возведении обеих частей уравнения (6) поочерёдно во 2, 3,..i-ю степень получим :
$x^2+y^2=z^2; k_2=0;$
$x^3+y^3=z^3+k_3;$ (7)
$x^i+y^i=z^i+k_i$
и т.д.
Перейдём к доказательству теоремы при n=4:
$x^4+y^4=z^4$ (8)
Перепишем уравнение в виде:
$(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2$ (9)
Это квадратное уравнение и поэтому ЛЮБОЕ примитивное решение этого уравнения выражается формулами:
$x^2=M^2-N^2$ (10)
$y^2=2MN$ (11)
$z^2=M^2+N^2$ (12)
где M и N<M- взаимно простые числа разной чётности.
Поэтому положим:
$M=N+1$ (13)
Тогда:
$x^2=M+N$ (14)
$y^2+z^2=(M+N)^2=(x^2)^2=z^4-y^4$ (15)
$y^2+y^4=z^4-z^2$ (16)
$y^2(y^2+1)=z^2(z^2-1)$ (17)
Т.к. y и z – взаимно простые, то
$z^2=y^2+1$ (18)
Уравнение (18) не имеет целочисленного решения , поэтому уравнение (9) также не имеет решения при выполнении условия (13). Так как ЛЮБОЕ состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (9), для которого y чётно, выражается формулами (10)-(12), где M и N<M- взаимно простые числа разной чётности, то при выполнении условия (13) должно выполняться исходное предположение (9). В итоге получено противоречие, и значит, исходное предположение (9) неверно. Т.е. уравнение (9), а значит, и (8) не имеет целочисленного решения, и теорема Ферма верна для n=4.
Аналогичны рассуждения для любого чётного n, т.е., для всех чётных n теорема Ферма
верна.

Перейдём к доказательству теоремы при n=3:
$x^3+y^3=z^3$ (19)
Только одно из чисел x , y , z может быть чётным. Без ограничения общности мы можем считать, что чётно число у.
Представим (19) в виде:
$(x\sqrt{x})^2+(y\sqrt{y})^2=(z\sqrt{z})^2$ (20)
Обязательно найдётся такой $k'_2$, что
$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=z\sqrt{z}+k'_2$ (21)
Возведём обе части уравнения (21) в квадрат:
$(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})^2=(z\sqrt{z}+k'_2)^2$ (22)
$x^3+y^3=z^3+2zk'_2\sqrt{z}+(k'_2)^2-2xy\sqrt{xy}$ (23)
При выполнении условия (19)
$(k'_2)^2=2(xy\sqrt{xy}-k'_2z\sqrt{z})$ (24)
Возведём обе части уравнения (24) в квадрат:
$(k'_2)^4=4(x^3y^3-2k'_2xyz\sqrt{xyz}+(k'_2)^2z^3)$ (25)
Если $k'_2$ -целое, то и $2k'_2xyz\sqrt{xyz}$ должно быть целым,
т.е., корни из x,y,z-целые:
$\sqrt{x}=x_1, \sqrt{y}=y_1, \sqrt{z}=z_1$ (26)
При подстановке в (20) получим:
$(x_1^3)^2+(y_1^3)^2=(z_1^3)^2$ (27)
Это уравнение шестой степени относительно $x_1,y_1,z_1$,
но для всех чётных n (как доказано выше) теорема Ферма верна, поэтому рассмотрим случай, когда $k'_2$ - иррациональное.
Обратимся к (25). Пусть $(k'_2)^2$ -целое, тогда
$k'_2=A\sqrt{xyz}$ (28)
Подставим это значение в (24):
$A^2xyz-2xy\sqrt{xy}+Az^2\sqrt{xy}=0$ (29)
Значит, $2xy\sqrt{xy}$ должен делиться на z, что невозможно из-за взаимной простоты x,y,z.
То есть, $(k'_2)^2$ должнo быть иррациональным.
Предположим, что $(k'_2)^4$-целое.
Из (25) получим:
$4x^3y^3-(k'_2)^4=4k'_2z\sqrt{z}(2xy\sqrt{xy}-k'_2z\sqrt{z})$ (30)
Видим, что слева –целое число, справа – произведение иррационального числа и иррационального выражения. Т.к. $k'_2$ иррациональное, то
$2xy\sqrt{xy}-k'_2z\sqrt{z}=B(k'_2)^3\sqrt{z}$ (31)
$4x^3y^3=z(k'_2z+B(k'_2)^3)^2$ (32)
Значит, $4x^3y^3$ должнo делиться на z, что невозможно из-за взаимной простоты x,y,z.
То есть, $(k'_2)^4$ должно быть иррациональным.
Если теперь возведём обе части уравнения (24) в любую чётную степень, то по аналогии с предыдущими выкладками получим, что из предположения иррациональности $k'_2$ ни одна степень $k'_2$ не может быть целой, значит,$k'_2$-трансцендентное. Но $k'_2$ является корнем уравнения (24) и не может быть таковым. Таким образом, $k'_2$не может быть и иррациональным числом.
Рассуждения, аналогичные (19)-(32) справедливы для всех нечётных n. Т.е., теорема Ферма верна и для всех нечётных n.
Таким образом, приведённое выше доказательство Великой теоремы Ферма является полным элементарным.

[nnosipov]

VALERI2 в сообщении #526767 писал(а):

где M и N<M- взаимно простые числа разной чётности.
Поэтому положим:
$M=N+1$ (13)

Это с чего вдруг так можно положить? Взаимно простые числа разной чётности не обязаны отличаться на единицу.

VALERI2 в сообщении #526767 писал(а):

$y^2(y^2+1)=z^2(z^2-1)$ (17)
Т.к. y и z – взаимно простые, то
$z^2=y^2+1$ (18)

Это, конечно, уже не важно, но такое утверждение ещё нужно доказать. Впрочем, уравнение (17) действительно легко исследовать, и даже для любых целых чисел $y$ и $z$, а не только взаимно простых. Но, повторю, к доказательству теоремы при $n=4$ это не имеет никакого отношения.

[VALERI2]

Это действительно частный случай, но он только подтверждает всё сказанное.
Жаль, что Вы не обратили внимание на выделенное слово "ЛЮБОЕ" (решение).
А уж в доказательстве-то М и N точно взаимно простые.

[PAV]

Скажите пожалуйста, число $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ - алгебраическое или трансцендентное?

И еще один вопрос. Уравнение (24), корнем которого является $k_2'$, является уравнением с целыми коэффициентами?

[nnosipov]

VALERI2 в сообщении #526793 писал(а):

Это действительно частный случай, но он только подтверждает всё сказанное.
Жаль, что Вы не обратили внимание на выделенное слово "ЛЮБОЕ" (решение).
А уж в доказательстве-то М и N точно взаимно простые.

Ну что тут скажешь ... Полное непонимание того, что требуется доказать. А в целом (если смотреть и остальной текст) --- элементарная математическая безграмотность. Впрочем, подождём ответов на заданные вопросы.

[VALERI2]

Здравствуйте!
Уважаемый PAV!
На первый вопрос ответ: алгебраическое.
На второй-с целыми коэффициентами.

[PAV]

VALERI2 в сообщении #527253 писал(а):

На первый вопрос ответ: алгебраическое.

Согласен. Вы можете указать такую целую степень, при возведении в которую это число окажется целым?

VALERI2 в сообщении #527253 писал(а):

На второй-с целыми коэффициентами.

Вот данное уравнение:
$(k'_2)^2=2(xy\sqrt{xy}-k'_2z\sqrt{z})$ (24)

Покажите, пожалуйста, где Вы доказали, что числа $xy\sqrt{xy}$ и $z\sqrt{z}$ являются целыми?

[Leox]

(Оффтоп)

Ten Signs a Claimed Mathematical Breakthrough is Wrong

http://www.scottaaronson.com/blog/?p=304

1. The authors don’t use TeX. This simple test (suggested by Dave Bacon) already catches at least 60% of wrong mathematical breakthroughs. David Deutsch and Lov Grover are among the only known false positives.

2. The authors don’t understand the question. Maybe they mistake NP≠coNP for some claim about psychology or metaphysics. Or maybe they solve the Grover problem in O(1) queries, under some notion of quantum computing lifted from a magazine article. I’ve seen both.

3. The approach seems to yield something much stronger and maybe even false (but the authors never discuss that). They’ve proved 3SAT takes exponential time; their argument would go through just as well for 2SAT.

4. The approach conflicts with a known impossibility result (which the authors never mention). The four months I spent proving the collision lower bound actually saved me some time once or twice, when I was able to reject papers violating the bound without reading them.

5. The authors themselves switch to weasel words by the end. The abstract says “we show the problem is in P,” but the conclusion contains phrases like “seems to work” and “in all cases we have tried.” Personally, I happen to be a big fan of heuristic algorithms, honestly advertised and experimentally analyzed. But when a “proof” has turned into a “plausibility argument” by page 47 — release the hounds!

6. The paper jumps into technicalities without presenting a new idea. If a famous problem could be solved only by manipulating formulas and applying standard reductions, then it’s overwhelmingly likely someone would’ve solved it already. The exceptions to this rule are interesting precisely because they’re rare (and even with the exceptions, a new idea is usually needed to find the right manipulations in the first place).

7. The paper doesn’t build on (or in some cases even refer to) any previous work. Math is cumulative. Even Wiles and Perelman had to stand on the lemma-encrusted shoulders of giants.

8. The paper wastes lots of space on standard material. If you’d really proved P≠NP, then you wouldn’t start your paper by laboriously defining 3SAT, in a manner suggesting your readers might not have heard of it.

9. The paper waxes poetic about “practical consequences,” “deep philosophical implications,” etc. Note that most papers make exactly the opposite mistake: they never get around to explaining why anyone should read them. But when it comes to something like P≠NP, to “motivate” your result is to insult your readers’ intelligence.

10. The techniques just seem too wimpy for the problem at hand.

[C A M]

В (21) k два штрих только тогда целое, когда x, y, z
представляют целое число в четной степени.

[C A M]

$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=z\sqrt{z}+k'_2$ (21)

$k'_2$ только тогда целое число, когда x, y, z представляют собой целое число в четной степени
($x^2^n$, $y^2^n$, $z^2^n$).

$x^2=M^2-N^2$ (10)
$z^2=M^2+N^2$ (12)
Данные выражения есть тройки Пифогоровых чисел.
$12^2+13^2=313$;
$13^2-12^2=5^2$.

[VALERI2]

Здравствуйте!
Принимаю замечания уважаемого PAV.
Предлагаю другое доказательство теоремы Ферма для n=3.
Вернемся к уравнению (20) и обозначим для удобства:
$x\sqrt{x}=X_1$
$y\sqrt{y}=Y_1$ (33)
$z\sqrt{z}=Z_1$
Поэтому:
$X_1^2+Y_1^2=Z_1^2$ (34)
Это квадратное уравнение и ЛЮБОЕ решение этого уравнения выражается формулами:
$X_1=M^2-N^2$
$Y_1=2MN$
$Z_1=M^2+N^2$ (35)
Полагаем
$M=N+1$ (36)
Подставим в (35):
$X_1=M+N$ (37)
$Y_1+Z_1=(M+N)^2$ (38)

$Y_1+Z_1=X_1^2=Z_1^2-Y_1^2$ (39)
$Y_1+Y_1^2=Z_1^2-Z_1$ (40)
$Y_1(Y_1+1)=Z_1(Z_1-1)$ (41)
Откуда:
$Z_1=Y_1+1$ (42)
С учетом (33):
$z\sqrt{z}-y\sqrt{y}=1$ (43)
Уравнение (43) не имеет целочисленных решений, поэтому теорема Ферма верна для n=3.
Аналогичны рассуждения для любого нечетного n.
Таким образом , теорема Ферма верна для всех нечетных n.

[venco]

VALERI2 в сообщении #543244 писал(а):

$X_1^2+Y_1^2=Z_1^2$ (34)
Это квадратное уравнение и ЛЮБОЕ решение этого уравнения выражается формулами:
$X_1=M^2-N^2$
$Y_1=2MN$
$Z_1=M^2+N^2$ (35)

Неправда.

[nnosipov]

VALERI2, Ваше новое доказательство содержит ту же логическую ошибку, что и предыдущее. Вы пишете:

VALERI2 в сообщении #543244 писал(а):

Полагаем
$M=N+1$ (36)

Но считать так нет никаких оснований. Постарайтесь это осознать.

[migmit]

venco в сообщении #543249 писал(а):

VALERI2 в сообщении #543244 писал(а):

$X_1^2+Y_1^2=Z_1^2$ (34)
Это квадратное уравнение и ЛЮБОЕ решение этого уравнения выражается формулами:
$X_1=M^2-N^2$
$Y_1=2MN$
$Z_1=M^2+N^2$ (35)

Неправда.

Э... ну, вообще-то, правда. Другое дело, что нифига эти $M$ и $N$ не будут целыми, но взять $M=\sqrt{\frac{Z+X}2}$, $N=\sqrt{\frac{Z-X}2}$ можно всегда.

[kochkarev bagram]

В интернете и не только усиленно рекламируется ошибочное доказательство Уайлса и Тейлора так называемой последней теоремы Ферма, хотя полное решение проблемы Ферма опубликовано еще в 2014 году на русском языке и в 2016 году на английском Кочкаревым Б.С.