Состоятельность выборочной дисперсии

[Cryohron]

Евгений Машеров в сообщении #1365350 писал(а):

А распределения, у которых может не быть второго момента, не так давно из области экзотических контрпримеров перешли в весьма прикладную область - финансовую математику. Там долго довольствовались нормальным приближением для, например, "доходностей" (yields) - изменений логарифма цены, строя из этого расчётные формулы (например, для цены опционов). Однако оказывается, что вероятность больших отклонений, "тяжёлых хвостов", существенно выше, чем обещает нормальность. Так, дневная доходность индекса Standard&Poor (а он рассчитывается по большому количеству акций, то есть оснований ждать "нормальности" больше, чем у отдельной акции) в течение 62 лет (примерно 15 тысяч торговых дней) падала на 5% и более при стандартном отклонении 0.98% (т.е. на "5 сигм") 27 раз, почти 1:2000, хотя нормальная модель полагает, что это событие случается 1:3500000, а уж падение 19.10.1987 на 22.9% ("23 сигмы") и вовсе за гранью вероятного. Один из подходов для учёта этого - распределения Леви, куда лучше приближающие "тяжёлые хвосты" (разумеется, ограничение лишь устойчивыми распределениями это "поиск монетки под фонарём", вдали от фонаря вообще ничего не видно...). Но у них второй момент, вообщеговоря, бесконечен.
А формула для оценивания дисперсии, по которой вычисляется волатильность акции (собственно, волатильность это стандартное отклонение дневных доходностей, приведенное к году) совпадает с обычной оценкой дисперсии. И вопрос о том, является ли она состоятельной, если конечного второго момента нет, оказывается сугубо прикладным (насколько я понимаю - не является, и надо менять способ расчёта волатильности).

Кстати, может тут есть некий заговор финансовых компаний?
Цитата из книги В.Ю. Королева "Теория вероятностей и математическая статистика" (2006)

Цитата:

В финансовой математике нормальное распределение является официально признанным фетишем. "Проблема хвостов" проявляется в финансовой математике как проблема распределений приращений биржевых цен. ... Более ста лет назад, основываясь на рассуждениях, связанных с центральной предельной теоремой, Л.Башелье построил основы теории вычисления так называемой рациональной или справедливой цены некоторых ценных бумаг, связанных с акциями. Ключевым принципом этой теории является нормальность распределения приращения биржевых цен. Более того, за большой вклад в развитие теории Башелье в 1997 году Нобелевская премия в области экономики была присуждена М.Шоулзу и Р.Мертону, чьи работы были основаны опять-таки на уже упоминавшемся принципе нормальности. Эта теория широко признана и активно используется, хотя уже с 1915 года многие исследователи обратили внимание на то, что реальное распределение приращений биржевых цен довольно далеко от нормального, имея более острую вершину и более тяжелые хвосты. Ясно, что, зная хвосты этих распределений, можно точно оценить вероятности больших изменений биржевых цен (которые на самом деле больше тех, которые соответствуют нормальному закону), а значит, более аккуратно построить стратегию биржевых игр и, следовательно, больше выиграть. При этом разработки аналитических отделов финансовых компаний представляют собой секреты, хранимые в большей тайне от конкурентов, нежели знаменитые секреты атомной бомбы. Наблюдается интересная ситуация: "официально", для того, чтобы по возможности ввести конкурентов в заблуждение, признаётся принцип нормальности, в то время как на самом деле финансовые расчеты, связанные с биржевыми играми, ведутся на совсем других основаниях.

[dsge]

Cryohron в сообщении #1367096 писал(а):

Кстати, может тут есть некий заговор финансовых компаний?
Цитата из книги В.Ю. Королева "Теория вероятностей и математическая статистика" (2006)

Цитата:

"официально", для того, чтобы по возможности ввести конкурентов в заблуждение, признаётся принцип нормальности

Заговор Ненормальных банкиров (или Нега-уссовых).

Cryohron в сообщении #1367096 писал(а):

Цитата:

При этом разработки аналитических отделов финансовых компаний представляют собой секреты, хранимые в большей тайне от конкурентов, нежели знаменитые секреты атомной бомбы. Наблюдается интересная ситуация: "официально", для того, чтобы по возможности ввести конкурентов в заблуждение, признаётся принцип нормальности, в то время как на самом деле финансовые расчеты, связанные с биржевыми играми, ведутся на совсем других основаниях.

Аффтар фантазирует. В финансовой индустрии довольно высокая текучка кадров, люди часто перемещаются с одного банка в другой, неся при себе знания и навыки, полученные на предыдущих местах работы. К тому же банки выкладывают свои модели внешним аудиторам, некоторые модели обязаны представлять регулятору.
В финансовых центрах диффузия знаний обычно происходит в барах. Плюс к этому каждый год происходит великое множество конференций, где финансисты и представители академии обмениваются знаниями. Так что профессионалы прекрасно знают какие модели используются у конкурентов, особых секретов нет.

Cryohron в сообщении #1367096 писал(а):

Цитата:

Ясно, что, зная хвосты этих распределений, можно точно оценить вероятности больших изменений биржевых цен (которые на самом деле больше тех, которые соответствуют нормальному закону), а значит, более аккуратно построить стратегию биржевых игр и, следовательно, больше выиграть.

Здесь тоже домыслы. Нормальное распределение используется потому, что оно позволяет получить решение (цена дериватива, коэффициент хеджирования) в аналитическом виде, т.е. в виде формулы, что позволяет быстро провести расчеты, а это важно в финансах. Можно, конечно, нагородить модель, которая будет учитывать тяжелые хвосты и много еще чего, но чтобы расcчитать ее потребуется применение численных методов, разностных схем там или Монте-Карло, и на это уйдет время пол-дня, за которое цены далеко уйдут и результаты расчета будут уже не нужны.

[Евгений Машеров]

Тем не менее - считают. Придумывают остроумные численные схемы, оптимизируют программы.Потому как нормальное распределение это "фонарь, под которым ищут". В силу целого ряда приятных свойств (устойчивое распределение с конечными моментами) и просто многовекового изучения его. И, как первое приближение, работает. Вернее, для цены логнормальное, а то может появиться отрицательная цена. А вот далее...
И вот следующий фонарь - устойчивые распределения без конечных моментов второго порядка. А если не ограничиваться устойчивыми - то вид распределения, а не только параметры, будет зависеть от числа влияющих на цену факторов, а это число никому не известно.
Но, разумеется, дело не в "заговоре", а в том, что отказ от нормальности усложняет настолько, что гг. студенты не смогут не только понять, но даже ощутить приятное чувство понимания. Вот и обучают предельно упрощённому варианту, а кому действительно надо - тот сможет перейти к более реалистичной и более запутанной модели цены.

[dsge]

Для логнормального распределения цены отрицательная цена никак не получится.
Чтобы получить тяжелый хвост в практике обходятся условно нормальными моделями, типа стохастической волатильности или в версии дискретного времени GARCH моделями, они уже обеспечивают безусловные тяжелые хвосты.
В практике расчетов деривативов важнее не сам хвост, а уловить «улыбку волатильности», что, конечно, логнормальные модели сделать не способны.
Устойчивы распределения, в основном, популярны в академии; чтобы их применяли в банках - не встречал, не слышал. Распределения Студента используются, они тоже обеспечивают несуществование 2-го момента для некоторых значений параметра. В риск-менеджменте рабочей лошадкой являются непараметрические методы в виде исторических симуляций, они автоматически учитывают тяжелые хвосты, которые были в данных.

[Евгений Машеров]

Ну, у Башелье было как раз нормальное распределение изменений цены. К логнормальному позже пришли.