Задание по спецкурсу введения в КТП

[CVladimir]

Итак, получил задание следующего вида: решить 1D уравнение Клейна-Гордона при начальных условиях, а также "найти эволюцию решения с нулевой начальной скоростью и начальными условиями в форме прямоугольного импульса".

Само уравнение, я, конечно, знаю:

$\frac{\delta^2U}{\delta t^2} - c^2\frac{\delta^2U}{\delta x^2}= rE(x)$

Под "1D-случаем", вероятно, подразумевается цепочка (по крайней мере, минуя всякие уравнения Шрёдингера, именно так нам К.-Г. и выводили) из 1 элемента при $E(x) = 0$. Решением для неё будет: $U = Ae^{i(\omega t - 2\pi)}$

Вопрос даже не в том, что делать. Вопрос в том, что подразумевается под "найти эволюцию решения" и что такое "начальные условия в форме прямоугольного импульса"... Ранее дел с такого рода заданиями не имел, видимо, потому и затруднения возникли.

[Munin]

И уравнение неправильное, и 1D-случай означает, что у вас одномерная координата $x$ (физику интересуют случаи до размерности 3: $\mathbf{r}=(x,y,z)=(x^0,y^0,z^0)$). И значок частной производной по-другому пишется: $\partial.$

-- 09.01.2019 17:29:39 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):

Вопрос даже не в том, что делать. Вопрос в том, что подразумевается под "найти эволюцию решения" и что такое "начальные условия в форме прямоугольного у
импульса"...

У вас был курс под одним из названий

"Уравнения математической физики"
"Методы математической физики"
"Дифференциальные уравнения с частными производными" ("в частных производных")

?

Вам поставили начальную задачу Коши для уравнения от двух переменных, её надо решить.

Если вы вообще ни бум-бум в начальных и граничных задачах ДУЧП, то дело плохо. За пять минут на форуме это не рассказать, курс минимум семестр.

-- 09.01.2019 17:42:25 --

$\dfrac{\partial^2U}{\partial t^2}-c^2\dfrac{\partial^2U}{\partial x^2}+\dfrac{(mc^2)^2}{\hbar^2}U=0.$

Источник в правую часть добавить можно, но в вашем случае он не нужен.

[CVladimir]

Munin в сообщении #1367177 писал(а):

У вас был курс под одним из названий

Это не корректно называть "курсом". У нас было около 6-7 ознакомительных занятий под названием "введение в КТП". Там нам исходя из задачи с одномерным кристаллом вывели через непрерывный предел уравнение К.-Г.
UPD: сейчас понял, что Вы, скорее всего, о том, были ли они вообще. Курс диффуров у меня только начнётся в следующем семестре. Но представление о решении задачи Коши и решении диф. уравнений, в т. ч. в частных производных, я имею.

Munin в сообщении #1367177 писал(а):

Вам поставили начальную задачу Коши

Это я понимаю. Но не могли бы Вы объяснить, что означает "начальные условия в форме прямоугольного импульса", или подсказать, где об этом можно почитать?

Munin в сообщении #1367177 писал(а):

И значок частной производной по-другому пишется

Благодарю, я впервые на этом форуме и его не нашёл. Исправлюсь.

[Munin]

CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):

Это не корректно называть "курсом". У нас было около 6-7 ознакомительных занятий под названием "введение в КТП".

Я вас не спрашиваю про "введение в КТП".
Я вас спрашиваю про другой курс, который должен был быть предварительным. Математический, хотя с физическими мотивациями. Там должны были рассказать примерно о таких вещах:
- эллиптические, параболические и гиперболические уравнения; волновое уравнение, уравнение струны;
- задачи начальные и граничные; граничные условия разных типов (Неймана, Дирихле);
- решение задач методом бегущих волн, методом стоячих волн (разделение переменных), методом функций Грина и фундаментального решения (наиболее подходит в вашем случае).

Видимо, нет. Тогда дело безнадёжно.

CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):

Но не могли бы Вы объяснить, что означает "начальные условия в форме прямоугольного импульса", или подсказать, где об этом можно почитать?

Это толстые учебники:
Владимиров. Уравнения математической физики.
Тихонов, Самарский. Уравнения математической физики.
Морс, Фешбах. Методы математической физики.
Кошляков, Глинер, Смирнов. Уравнения в частных производных математической физики.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперболические_уравнения
https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_Коши
https://ru.wikiversity.org/wiki/Начально-краевые_задачи_для_гиперболического_уравнения

По сути, вам надо решить уравнение на функцию $U(x,t)$ на полуплоскости $t\geqslant 0.$ Эта функция должна удовлетворять такому условию, что на границе полуплоскости - на прямой $t=0$ эта функция равна заданной $U(x,t)|_{t=0}=U(x,0)=u_0(x)$:

$u_0(x)=\begin{cases}0,&x<x_1 \\ a=\mathrm{const},&x_1<x<x_2 \\ 0,&x>x_2.\end{cases}$

Вот такая функция $u_0(x)$ и называется "прямоугольным импульсом", потому что её форма напоминает прямоугольник, а аналогичная функция, но от времени, является импульсом какой-то величины по сравнению с нулевым уровнем (функции от времени рассматриваются раньше, в курсе ОДУ - дифференциальных уравнениях с одной переменной).

[Alex-Yu]

CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):

"введение в КТП". Там нам исходя из задачи с одномерным кристаллом вывели через непрерывный предел уравнение К.-Г.

Чего только ни называют КТП.... Мрак. Уравнение Клейна-Гордона к КТП в сущности вообще никакого отношения не имеет. Это теория поля, но никак не КВАНТОВАЯ теория поля. Впрочем, КТП можно расшифровать и как "классическая теория поля", но общепринятый смысл все же квантовая. В общем пудрят вам там мозги "по черному"...

Ладно, дальше с "утилитарно-сдавательной" точки зрения.

-- Ср янв 09, 2019 22:24:42 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):

такое "начальные условия в форме прямоугольного импульса".

Это значит, что при $t=0$поле $U$ имеет такой вид:

$$ U = U_0 \qquad a<x<b $$

где $U_0$ некая константа. Вне указанного интервала $U$ (в начальный момент времени) равняется нулю.

-- Ср янв 09, 2019 22:28:31 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):

что подразумевается под "найти эволюцию решения"

Это означает "найти чему равняется $U$ позже, чем начальное время".

[Munin]

CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):

сейчас понял, что Вы, скорее всего, о том, были ли они вообще. Курс диффуров у меня только начнётся в следующем семестре.

Есть как минимум два курса дифуров:
1. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Там производные по одной переменной $\dfrac{d}{dx},$ и искомые функции - от одной переменной.
2. Курс дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП), он же часто курс уравнений математической физики (УМФ). Там частные производные по нескольким переменным $\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z},\dfrac{\partial}{\partial t},$ и искомые функции - от нескольких переменных.

Второй построен на первом.

CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):

Но представление о решении задачи Коши и решении диф. уравнений, в т. ч. в частных производных, я имею.

Это хорошо бы, но судя по той путанице, что у вас в первом сообщении, не очень. По крайней мере, с языком вы не знакомы.

-- 09.01.2019 18:34:03 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):

Вопрос в том, что подразумевается под "найти эволюцию решения" и что такое "начальные условия в форме прямоугольного импульса"...

Под "эволюцией" в физике подразумевается зависимость от времени $t.$ Поскольку у вас заданы начальные условия (при $t=0$), то поставлена стандартная задача Коши:

дано: функция при $t=0$;
найти: функцию при $t>0.$

Поскольку у вас ДУЧП и две переменных $(x,t),$ то подразумевается задача Коши для ДУЧП:

дано: функция на прямой $t=0$;
найти: функцию в полуплоскости $t>0.$

-- 09.01.2019 18:37:13 --

Alex-Yu в сообщении #1367203 писал(а):

Мрак. Уравнение Клейна-Гордона к КТП в сущности вообще никакого отношения не имеет.

Но познакомиться с его свойствами и уметь решать для КТП надо...

Alex-Yu в сообщении #1367203 писал(а):

Впрочем, КТП можно расшифровать и как "классическая теория поля", но общепринятый смысл все же квантовая. В общем пудрят вам там мозги "по черному"... :-(

Судя по всему, там эту "КТП" на них свалили на 2-3-4 года раньше, чем надо. Так что, скорее всего, будет "второй заход", или плюнут, если это не специальность теоретиков, а про КТП надо "поболтать на уровне общей эрудиции".

[CVladimir]

Munin в сообщении #1367205 писал(а):

Судя по всему, там эту "КТП" на них свалили на 2-3-4 года раньше, чем надо.

Вы абсолютно правы, и исключительно в общеобразовательных целях. Задачи же я искал отчасти сам, выбирая самые простые, ибо мне просто хочется лучше разобраться. Специальность, к слову, очень даже теоретическая, так что все надежды на "второй заход" имеются.

Благодарю за литературу, видимо, все беда у меня именно в недостатке знаний в области дифуравнений, и ещё непонимании терминологии, "опережающей время и материал". Но, думаю, теперь я сумею разобраться .

[Munin]

Есть ещё замечательная серия справочников (главный автор - Полянин), из которой назову вам пока
Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики.
Зайцев, Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Зайцев, Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка.
Вам может пригодиться в первую очередь первый из названных.