2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 16:09 


09/01/19
3
Итак, получил задание следующего вида: решить 1D уравнение Клейна-Гордона при начальных условиях, а также "найти эволюцию решения с нулевой начальной скоростью и начальными условиями в форме прямоугольного импульса".

Само уравнение, я, конечно, знаю:

$\frac{\delta^2U}{\delta t^2} - c^2\frac{\delta^2U}{\delta x^2}= rE(x)$

Под "1D-случаем", вероятно, подразумевается цепочка (по крайней мере, минуя всякие уравнения Шрёдингера, именно так нам К.-Г. и выводили) из 1 элемента при $E(x) = 0$. Решением для неё будет: $U = Ae^{i(\omega t - 2\pi)}$

Вопрос даже не в том, что делать. Вопрос в том, что подразумевается под "найти эволюцию решения" и что такое "начальные условия в форме прямоугольного импульса"... Ранее дел с такого рода заданиями не имел, видимо, потому и затруднения возникли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67267
И уравнение неправильное, и 1D-случай означает, что у вас одномерная координата $x$ (физику интересуют случаи до размерности 3: $\mathbf{r}=(x,y,z)=(x^0,y^0,z^0)$). И значок частной производной по-другому пишется: $\partial.$

-- 09.01.2019 17:29:39 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):
Вопрос даже не в том, что делать. Вопрос в том, что подразумевается под "найти эволюцию решения" и что такое "начальные условия в форме прямоугольного у
импульса"...

У вас был курс под одним из названий
    "Уравнения математической физики"
    "Методы математической физики"
    "Дифференциальные уравнения с частными производными" ("в частных производных")
?

Вам поставили начальную задачу Коши для уравнения от двух переменных, её надо решить.

Если вы вообще ни бум-бум в начальных и граничных задачах ДУЧП, то дело плохо. За пять минут на форуме это не рассказать, курс минимум семестр.

-- 09.01.2019 17:42:25 --

    $\dfrac{\partial^2U}{\partial t^2}-c^2\dfrac{\partial^2U}{\partial x^2}+\dfrac{(mc^2)^2}{\hbar^2}U=0.$

Источник в правую часть добавить можно, но в вашем случае он не нужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 17:54 


09/01/19
3
Munin в сообщении #1367177 писал(а):
У вас был курс под одним из названий

Это не корректно называть "курсом". У нас было около 6-7 ознакомительных занятий под названием "введение в КТП". Там нам исходя из задачи с одномерным кристаллом вывели через непрерывный предел уравнение К.-Г.
UPD: сейчас понял, что Вы, скорее всего, о том, были ли они вообще. Курс диффуров у меня только начнётся в следующем семестре. Но представление о решении задачи Коши и решении диф. уравнений, в т. ч. в частных производных, я имею.

Munin в сообщении #1367177 писал(а):
Вам поставили начальную задачу Коши

Это я понимаю. Но не могли бы Вы объяснить, что означает "начальные условия в форме прямоугольного импульса", или подсказать, где об этом можно почитать?

Munin в сообщении #1367177 писал(а):
И значок частной производной по-другому пишется

Благодарю, я впервые на этом форуме и его не нашёл. Исправлюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67267
CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):
Это не корректно называть "курсом". У нас было около 6-7 ознакомительных занятий под названием "введение в КТП".

Я вас не спрашиваю про "введение в КТП".
Я вас спрашиваю про другой курс, который должен был быть предварительным. Математический, хотя с физическими мотивациями. Там должны были рассказать примерно о таких вещах:
- эллиптические, параболические и гиперболические уравнения; волновое уравнение, уравнение струны;
- задачи начальные и граничные; граничные условия разных типов (Неймана, Дирихле);
- решение задач методом бегущих волн, методом стоячих волн (разделение переменных), методом функций Грина и фундаментального решения (наиболее подходит в вашем случае).

Видимо, нет. Тогда дело безнадёжно.

CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):
Но не могли бы Вы объяснить, что означает "начальные условия в форме прямоугольного импульса", или подсказать, где об этом можно почитать?

Это толстые учебники:
Владимиров. Уравнения математической физики.
Тихонов, Самарский. Уравнения математической физики.
Морс, Фешбах. Методы математической физики.
Кошляков, Глинер, Смирнов. Уравнения в частных производных математической физики.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперболические_уравнения
https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_Коши
https://ru.wikiversity.org/wiki/Начально-краевые_задачи_для_гиперболического_уравнения

По сути, вам надо решить уравнение на функцию $U(x,t)$ на полуплоскости $t\geqslant 0.$ Эта функция должна удовлетворять такому условию, что на границе полуплоскости - на прямой $t=0$ эта функция равна заданной $U(x,t)|_{t=0}=U(x,0)=u_0(x)$:
    $u_0(x)=\begin{cases}0,&x<x_1 \\ a=\mathrm{const},&x_1<x<x_2 \\ 0,&x>x_2.\end{cases}$
Вот такая функция $u_0(x)$ и называется "прямоугольным импульсом", потому что её форма напоминает прямоугольник, а аналогичная функция, но от времени, является импульсом какой-то величины по сравнению с нулевым уровнем (функции от времени рассматриваются раньше, в курсе ОДУ - дифференциальных уравнениях с одной переменной).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 18:23 
Заслуженный участник


21/08/10
1730
CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):
"введение в КТП". Там нам исходя из задачи с одномерным кристаллом вывели через непрерывный предел уравнение К.-Г.


Чего только ни называют КТП.... Мрак. Уравнение Клейна-Гордона к КТП в сущности вообще никакого отношения не имеет. Это теория поля, но никак не КВАНТОВАЯ теория поля. Впрочем, КТП можно расшифровать и как "классическая теория поля", но общепринятый смысл все же квантовая. В общем пудрят вам там мозги "по черному"... :-(

Ладно, дальше с "утилитарно-сдавательной" точки зрения.

-- Ср янв 09, 2019 22:24:42 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):
такое "начальные условия в форме прямоугольного импульса".



Это значит, что при $t=0$поле $U$ имеет такой вид:

$$
U = U_0 \qquad a<x<b
$$

где $U_0$ некая константа. Вне указанного интервала $U$ (в начальный момент времени) равняется нулю.

-- Ср янв 09, 2019 22:28:31 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):
что подразумевается под "найти эволюцию решения"


Это означает "найти чему равняется $U$ позже, чем начальное время".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67267
CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):
сейчас понял, что Вы, скорее всего, о том, были ли они вообще. Курс диффуров у меня только начнётся в следующем семестре.

Есть как минимум два курса дифуров:
1. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Там производные по одной переменной $\dfrac{d}{dx},$ и искомые функции - от одной переменной.
2. Курс дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП), он же часто курс уравнений математической физики (УМФ). Там частные производные по нескольким переменным $\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z},\dfrac{\partial}{\partial t},$ и искомые функции - от нескольких переменных.

Второй построен на первом.

CVladimir в сообщении #1367189 писал(а):
Но представление о решении задачи Коши и решении диф. уравнений, в т. ч. в частных производных, я имею.

Это хорошо бы, но судя по той путанице, что у вас в первом сообщении, не очень. По крайней мере, с языком вы не знакомы.

-- 09.01.2019 18:34:03 --

CVladimir в сообщении #1367156 писал(а):
Вопрос в том, что подразумевается под "найти эволюцию решения" и что такое "начальные условия в форме прямоугольного импульса"...

Под "эволюцией" в физике подразумевается зависимость от времени $t.$ Поскольку у вас заданы начальные условия (при $t=0$), то поставлена стандартная задача Коши:
    дано: функция при $t=0$;
    найти: функцию при $t>0.$
Поскольку у вас ДУЧП и две переменных $(x,t),$ то подразумевается задача Коши для ДУЧП:
    дано: функция на прямой $t=0$;
    найти: функцию в полуплоскости $t>0.$


-- 09.01.2019 18:37:13 --

Alex-Yu в сообщении #1367203 писал(а):
Мрак. Уравнение Клейна-Гордона к КТП в сущности вообще никакого отношения не имеет.

Но познакомиться с его свойствами и уметь решать для КТП надо...

Alex-Yu в сообщении #1367203 писал(а):
Впрочем, КТП можно расшифровать и как "классическая теория поля", но общепринятый смысл все же квантовая. В общем пудрят вам там мозги "по черному"... :-(

Судя по всему, там эту "КТП" на них свалили на 2-3-4 года раньше, чем надо. Так что, скорее всего, будет "второй заход", или плюнут, если это не специальность теоретиков, а про КТП надо "поболтать на уровне общей эрудиции".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 18:54 


09/01/19
3
Munin в сообщении #1367205 писал(а):
Судя по всему, там эту "КТП" на них свалили на 2-3-4 года раньше, чем надо.

Вы абсолютно правы, и исключительно в общеобразовательных целях. Задачи же я искал отчасти сам, выбирая самые простые, ибо мне просто хочется лучше разобраться. Специальность, к слову, очень даже теоретическая, так что все надежды на "второй заход" имеются.

Благодарю за литературу, видимо, все беда у меня именно в недостатке знаний в области дифуравнений, и ещё непонимании терминологии, "опережающей время и материал". Но, думаю, теперь я сумею разобраться :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание по спецкурсу введения в КТП
Сообщение09.01.2019, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67267
Есть ещё замечательная серия справочников (главный автор - Полянин), из которой назову вам пока
Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики.
Зайцев, Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Зайцев, Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка.
Вам может пригодиться в первую очередь первый из названных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group