Некоммутативность дифференциальных операторов

[Singular]

Известно, что, в общем случае, умножение дифференциальных операторов $\mathcal{L}$ - операция не коммутативная, т.е. $\mathcal{L}_1\mathcal{L}_2\neq\mathcal{L}_2\mathcal{L}_1$. Возникает вопрос, какого правила придерживаться в случае, если нужно "найти" определитель матрицы, состоящей из дифференциальных операторов $\left|\begin{array}{cc}\mathcal{L}_{11}&\mathcal{L}_{12}\\\mathcal{L}_{21}&\mathcal{L}_{22}\end{array}\right|$, который тоже будет представлять собой дифференциальный оператор? Раскладывая по первой строке, получим $\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}-\mathcal{L}_{12}\mathcal{L}_{21}$, но раскладывая по первому столбцу получим другой результат $\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}-\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{12}$. Раскладывая по другим выбранным строкам/столбцам формально результаты будут третьими, четвёртыми... Если бы всё было коммутативно, то - проблем нет, но как быть здесь?

[Red_Herring]

А что такое "определитель матрицы, состоящей из дифференциальных операторов "? Или давайте определение, или хотя бы объясните, что вы хотите вычислить, и какими свойствами это должно обладать

[Singular]

В книге L. Hörmander "Linear partial differential operators" (имеется русский перевод) есть параграф, посвящённый решению систем дифференциальных уравнений (скан отрывка):

Справедливости ради следует отметить, что здесь речь идёт о системах с постоянными коэффициентами, где вопросы с коммутативностью не возникают, но что если распространить на системы с непостоянными коэффициентами?

[Red_Herring]

Singular в сообщении #1366464 писал(а):

Справедливости ради следует отметить, что здесь речь идёт о системах с постоянными коэффициентами, где вопросы с коммутативностью не возникают, но что если распространить на системы с непостоянными коэффициентами?

Если речь идет о построении параметрикса для эллиптических операторов (см там же), то некоммутативность роли не играет, поскольку важны только старшие члены.

Если же строить обратный, то ни одна из указанных процедур не годится, а надо действовать по той же схеме, как если бы вы рассматривали блок-матрицу $\begin{pmatrix} A&B\\ C&D\end{pmatrix}$ с обратимой матрицей $A$.

[Singular]

Спасибо за оперативный ответ