2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 21:56 
Аватара пользователя


23/07/07
147
Известно, что, в общем случае, умножение дифференциальных операторов $\mathcal{L}$ - операция не коммутативная, т.е. $\mathcal{L}_1\mathcal{L}_2\neq\mathcal{L}_2\mathcal{L}_1$. Возникает вопрос, какого правила придерживаться в случае, если нужно "найти" определитель матрицы, состоящей из дифференциальных операторов $\left|\begin{array}{cc}\mathcal{L}_{11}&\mathcal{L}_{12}\\\mathcal{L}_{21}&\mathcal{L}_{22}\end{array}\right|$, который тоже будет представлять собой дифференциальный оператор? Раскладывая по первой строке, получим $\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}-\mathcal{L}_{12}\mathcal{L}_{21}$, но раскладывая по первому столбцу получим другой результат $\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}-\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{12}$. Раскладывая по другим выбранным строкам/столбцам формально результаты будут третьими, четвёртыми... Если бы всё было коммутативно, то - проблем нет, но как быть здесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9300
Hogtown
А что такое "определитель матрицы, состоящей из дифференциальных операторов "? Или давайте определение, или хотя бы объясните, что вы хотите вычислить, и какими свойствами это должно обладать

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 23:20 
Аватара пользователя


23/07/07
147
В книге L. Hörmander "Linear partial differential operators" (имеется русский перевод) есть параграф, посвящённый решению систем дифференциальных уравнений (скан отрывка):
Изображение
Справедливости ради следует отметить, что здесь речь идёт о системах с постоянными коэффициентами, где вопросы с коммутативностью не возникают, но что если распространить на системы с непостоянными коэффициентами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9300
Hogtown
Singular в сообщении #1366464 писал(а):
Справедливости ради следует отметить, что здесь речь идёт о системах с постоянными коэффициентами, где вопросы с коммутативностью не возникают, но что если распространить на системы с непостоянными коэффициентами?
Если речь идет о построении параметрикса для эллиптических операторов (см там же), то некоммутативность роли не играет, поскольку важны только старшие члены.

Если же строить обратный, то ни одна из указанных процедур не годится, а надо действовать по той же схеме, как если бы вы рассматривали блок-матрицу $\begin{pmatrix} A&B\\ C&D\end{pmatrix}$ с обратимой матрицей $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 23:54 
Аватара пользователя


23/07/07
147
Спасибо за оперативный ответ :!:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group