2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 21:56 
Аватара пользователя


23/07/07
157
Известно, что, в общем случае, умножение дифференциальных операторов $\mathcal{L}$ - операция не коммутативная, т.е. $\mathcal{L}_1\mathcal{L}_2\neq\mathcal{L}_2\mathcal{L}_1$. Возникает вопрос, какого правила придерживаться в случае, если нужно "найти" определитель матрицы, состоящей из дифференциальных операторов $\left|\begin{array}{cc}\mathcal{L}_{11}&\mathcal{L}_{12}\\\mathcal{L}_{21}&\mathcal{L}_{22}\end{array}\right|$, который тоже будет представлять собой дифференциальный оператор? Раскладывая по первой строке, получим $\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}-\mathcal{L}_{12}\mathcal{L}_{21}$, но раскладывая по первому столбцу получим другой результат $\mathcal{L}_{11}\mathcal{L}_{22}-\mathcal{L}_{21}\mathcal{L}_{12}$. Раскладывая по другим выбранным строкам/столбцам формально результаты будут третьими, четвёртыми... Если бы всё было коммутативно, то - проблем нет, но как быть здесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9660
Hogtown
А что такое "определитель матрицы, состоящей из дифференциальных операторов "? Или давайте определение, или хотя бы объясните, что вы хотите вычислить, и какими свойствами это должно обладать

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 23:20 
Аватара пользователя


23/07/07
157
В книге L. Hörmander "Linear partial differential operators" (имеется русский перевод) есть параграф, посвящённый решению систем дифференциальных уравнений (скан отрывка):
Изображение
Справедливости ради следует отметить, что здесь речь идёт о системах с постоянными коэффициентами, где вопросы с коммутативностью не возникают, но что если распространить на системы с непостоянными коэффициентами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9660
Hogtown
Singular в сообщении #1366464 писал(а):
Справедливости ради следует отметить, что здесь речь идёт о системах с постоянными коэффициентами, где вопросы с коммутативностью не возникают, но что если распространить на системы с непостоянными коэффициентами?
Если речь идет о построении параметрикса для эллиптических операторов (см там же), то некоммутативность роли не играет, поскольку важны только старшие члены.

Если же строить обратный, то ни одна из указанных процедур не годится, а надо действовать по той же схеме, как если бы вы рассматривали блок-матрицу $\begin{pmatrix} A&B\\ C&D\end{pmatrix}$ с обратимой матрицей $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоммутативность дифференциальных операторов
Сообщение06.01.2019, 23:54 
Аватара пользователя


23/07/07
157
Спасибо за оперативный ответ :!:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: artempalkin, mihiv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group