Потенциал степени -2

[pogulyat_vyshel]

Существуют ли в физике силы с потенциалом вида

$$V(\boldsymbol r)\sim -\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad |\boldsymbol r|\to 0,\quad n\ge 2$$

?

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1365903 писал(а):

$$V(\boldsymbol r)\sim -\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad |\boldsymbol r|\to 0,\quad n\ge 2$$

Мультиполи не годятся?
$V_\text{dipole}=\frac{(\mathbf{pr})}{r^3}$ и далее.
Только на совсем малых расстояниях такого вроде быть не должно - падение на центр, однако.

[pogulyat_vyshel]

Спасибо! Вы не могли бы подробней рассказать, я же не физик. Я всегда думал что диполь это $V=\cos\varphi/r^3$ (в полярных координатах) но такая штука меняет знак

[Munin]

Вроде как именно в окрестности нуля такого быть не должно: теория поля протестує.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1365927 писал(а):

Я всегда думал что диполь это $V=\cos\varphi/r^3$

Ну, я это и написал, только не $\sim1/r^3,$ а $\sim1/r^2.$ И да, знак меняет в зависимости от угла. Мультипольное разложение - это разложение потенциала по обратным степеням расстояния от заряженного объекта до точки измерения при условии что размер заряженного объекта меньше этого расстояния. Если надо, что бы притягивал как $-1/r^2$ и не менял знака, то тоже можно что-нибудь придумать в некотором диапазоне расстояний, но при малых расстояниях, IMHO, все равно должно быть что-то не сильнее $-1/r$, иначе система сколлапсирует.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1365924 писал(а):

роде быть не должно - падение на центр, однако.

Шредингер $-h^2\Delta + V(x)$ с потенциалом $V(x)\le - K h^2 r^{-2}$ не полуограничен снизу. То же самое для "релятивистского Шредингера" $\sqrt{-c^2h^2\Delta +m^2 c^4} +V(x)$ с потенциалом $V(x)\le - K_1 c h r^{-1}$.

Точные значения пограничных констант известны

[amon]

Red_Herring в сообщении #1365947 писал(а):

Шредингер ... не полуограничен снизу.

Ваша правда, но для нерелятивистского шредингера релятивистская поправка приведет к коллапсу, как, впрочем, у Вас и написано.

[Munin]

Вопрос был про физику. В физике всегда на малых масштабах, что бы там ни было на больших, всё сводится к теории поля. А теория поля - штука гораздо более жёсткая на уравнения, чем механика частиц. И тем более - квантовая теория поля. Так что в окрестности нуля практически любой потенциал будет либо $\sim 1/r,$ либо ещё более сглаженный за счёт форм-фактора (= размазанности в пространстве заряда притягивающей частицы).

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1365947 писал(а):

Шредингер $-h^2\Delta + V(x)$ с потенциалом $V(x)\le - K h^2 r^{-2}$ не полуограничен сниз

а в классике так ставить вопрос имеет смысл?

$$L=\frac{m}{2}|\boldsymbol {\dot r}|^2+\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad n\ge 2$$

[pogulyat_vyshel]

Вопрос выяснен, нужные мне мотивации содержатся в статье The two dimensional motion of a particle in an inverse square potential: Classical and
quantum aspects
R. P. Martínez-y-Romero, H. N. Núñez-Yépez, and A. L. Salas-Brito
Citation: Journal of Mathematical Physics 54, 053509 (2013); doi: 10.1063/1.4804356

Всем спасибо.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1366122 писал(а):

а в классике так ставить вопрос имеет смысл?

Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент. И если при $n<2$ на Солнце падает лишь тело с $M=0$, то при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упадет.

[Igrickiy(senior)]

Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):

Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент.

Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):

Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент. И если при $n<2$ на Солнце падает лишь тело с $M=0$, то при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упадет.

Я это понимаю, просто мне для статьи нужны были ссылки на физику для обоснования актуальности работы.

Igrickiy(senior) в сообщении #1366161 писал(а):

Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

А что вам не нравится? в точности тоже самое, что было с катушкой только что: редукция системы с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы

-- 05.01.2019, 16:04 --

Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):

при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упаде

это по-моему неверно

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1366170 писал(а):

это по-моему неверно

Согласен, я неаккуратно посмотрел на график $W(r)=-r^{-n}+M^2r^{-2}$. Он имеет положительный максимум в $r=r^*$ и если $r(0)<r^*$ и $\dot{r}(0)<0$, то упадет.

[Munin]

Igrickiy(senior) в сообщении #1366161 писал(а):

Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

Видимо, от отсутствия знакомства с соответствующим общеизвестным формализмом. Например,
Ландау, Лифшиц. Механика. § 14. Движение в центральном поле.
Медведев. Начала теоретической физики. § I.10. Движение в центральном поле.
Арнольд. Математические методы классической механики. § 8. Исследование движения в центральном поле.