2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 16:26 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Существуют ли в физике силы с потенциалом вида
$$V(\boldsymbol r)\sim -\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad |\boldsymbol r|\to 0,\quad n\ge 2$$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3603
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1365903 писал(а):
$$V(\boldsymbol r)\sim -\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad |\boldsymbol r|\to 0,\quad n\ge 2$$
Мультиполи не годятся?
$V_\text{dipole}=\frac{(\mathbf{pr})}{r^3}$ и далее.
Только на совсем малых расстояниях такого вроде быть не должно - падение на центр, однако.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:15 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Спасибо! Вы не могли бы подробней рассказать, я же не физик. Я всегда думал что диполь это $V=\cos\varphi/r^3$ (в полярных координатах) но такая штука меняет знак

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67257
Вроде как именно в окрестности нуля такого быть не должно: теория поля протестує.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3603
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1365927 писал(а):
Я всегда думал что диполь это $V=\cos\varphi/r^3$
Ну, я это и написал, только не $\sim1/r^3,$ а $\sim1/r^2.$ И да, знак меняет в зависимости от угла. Мультипольное разложение - это разложение потенциала по обратным степеням расстояния от заряженного объекта до точки измерения при условии что размер заряженного объекта меньше этого расстояния. Если надо, что бы притягивал как $-1/r^2$ и не менял знака, то тоже можно что-нибудь придумать в некотором диапазоне расстояний, но при малых расстояниях, IMHO, все равно должно быть что-то не сильнее $-1/r$, иначе система сколлапсирует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8540
Hogtown
amon в сообщении #1365924 писал(а):
роде быть не должно - падение на центр, однако.

Шредингер $-h^2\Delta + V(x)$ с потенциалом $V(x)\le - K h^2 r^{-2}$ не полуограничен снизу. То же самое для "релятивистского Шредингера" $\sqrt{-c^2h^2\Delta +m^2 c^4} +V(x)$ с потенциалом $V(x)\le  - K_1 c h  r^{-1}$.

Точные значения пограничных констант известны

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3603
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1365947 писал(а):
Шредингер ... не полуограничен снизу.
Ваша правда, но для нерелятивистского шредингера релятивистская поправка приведет к коллапсу, как, впрочем, у Вас и написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67257
Вопрос был про физику. В физике всегда на малых масштабах, что бы там ни было на больших, всё сводится к теории поля. А теория поля - штука гораздо более жёсткая на уравнения, чем механика частиц. И тем более - квантовая теория поля. Так что в окрестности нуля практически любой потенциал будет либо $\sim 1/r,$ либо ещё более сглаженный за счёт форм-фактора (= размазанности в пространстве заряда притягивающей частицы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 10:44 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Red_Herring в сообщении #1365947 писал(а):
Шредингер $-h^2\Delta + V(x)$ с потенциалом $V(x)\le - K h^2 r^{-2}$ не полуограничен сниз

а в классике так ставить вопрос имеет смысл?
$$L=\frac{m}{2}|\boldsymbol {\dot r}|^2+\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad n\ge 2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 12:43 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Вопрос выяснен, нужные мне мотивации содержатся в статье The two dimensional motion of a particle in an inverse square potential: Classical and
quantum aspects
R. P. Martínez-y-Romero, H. N. Núñez-Yépez, and A. L. Salas-Brito
Citation: Journal of Mathematical Physics 54, 053509 (2013); doi: 10.1063/1.4804356

Всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8540
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1366122 писал(а):
а в классике так ставить вопрос имеет смысл?

Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент. И если при $n<2$ на Солнце падает лишь тело с $M=0$, то при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упадет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 14:20 
Аватара пользователя


15/12/18
146
По слухам из Москвы
Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):
Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент.

Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 14:55 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):
Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент. И если при $n<2$ на Солнце падает лишь тело с $M=0$, то при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упадет.

Я это понимаю, просто мне для статьи нужны были ссылки на физику для обоснования актуальности работы.
Igrickiy(senior) в сообщении #1366161 писал(а):
Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

А что вам не нравится? в точности тоже самое, что было с катушкой только что: редукция системы с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы

-- 05.01.2019, 16:04 --

Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):
при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упаде

это по-моему неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8540
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1366170 писал(а):
это по-моему неверно
Согласен, я неаккуратно посмотрел на график $W(r)=-r^{-n}+M^2r^{-2}$. Он имеет положительный максимум в $r=r^*$ и если $r(0)<r^*$ и $\dot{r}(0)<0$, то упадет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67257
Igrickiy(senior) в сообщении #1366161 писал(а):
Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

Видимо, от отсутствия знакомства с соответствующим общеизвестным формализмом. Например,
Ландау, Лифшиц. Механика. § 14. Движение в центральном поле.
Медведев. Начала теоретической физики. § I.10. Движение в центральном поле.
Арнольд. Математические методы классической механики. § 8. Исследование движения в центральном поле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group