2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 16:26 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
Существуют ли в физике силы с потенциалом вида
$$V(\boldsymbol r)\sim -\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad |\boldsymbol r|\to 0,\quad n\ge 2$$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3779
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1365903 писал(а):
$$V(\boldsymbol r)\sim -\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad |\boldsymbol r|\to 0,\quad n\ge 2$$
Мультиполи не годятся?
$V_\text{dipole}=\frac{(\mathbf{pr})}{r^3}$ и далее.
Только на совсем малых расстояниях такого вроде быть не должно - падение на центр, однако.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:15 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
Спасибо! Вы не могли бы подробней рассказать, я же не физик. Я всегда думал что диполь это $V=\cos\varphi/r^3$ (в полярных координатах) но такая штука меняет знак

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70036
Вроде как именно в окрестности нуля такого быть не должно: теория поля протестує.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3779
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1365927 писал(а):
Я всегда думал что диполь это $V=\cos\varphi/r^3$
Ну, я это и написал, только не $\sim1/r^3,$ а $\sim1/r^2.$ И да, знак меняет в зависимости от угла. Мультипольное разложение - это разложение потенциала по обратным степеням расстояния от заряженного объекта до точки измерения при условии что размер заряженного объекта меньше этого расстояния. Если надо, что бы притягивал как $-1/r^2$ и не менял знака, то тоже можно что-нибудь придумать в некотором диапазоне расстояний, но при малых расстояниях, IMHO, все равно должно быть что-то не сильнее $-1/r$, иначе система сколлапсирует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9104
Hogtown
amon в сообщении #1365924 писал(а):
роде быть не должно - падение на центр, однако.

Шредингер $-h^2\Delta + V(x)$ с потенциалом $V(x)\le - K h^2 r^{-2}$ не полуограничен снизу. То же самое для "релятивистского Шредингера" $\sqrt{-c^2h^2\Delta +m^2 c^4} +V(x)$ с потенциалом $V(x)\le  - K_1 c h  r^{-1}$.

Точные значения пограничных констант известны

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3779
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1365947 писал(а):
Шредингер ... не полуограничен снизу.
Ваша правда, но для нерелятивистского шредингера релятивистская поправка приведет к коллапсу, как, впрочем, у Вас и написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение04.01.2019, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70036
Вопрос был про физику. В физике всегда на малых масштабах, что бы там ни было на больших, всё сводится к теории поля. А теория поля - штука гораздо более жёсткая на уравнения, чем механика частиц. И тем более - квантовая теория поля. Так что в окрестности нуля практически любой потенциал будет либо $\sim 1/r,$ либо ещё более сглаженный за счёт форм-фактора (= размазанности в пространстве заряда притягивающей частицы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 10:44 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
Red_Herring в сообщении #1365947 писал(а):
Шредингер $-h^2\Delta + V(x)$ с потенциалом $V(x)\le - K h^2 r^{-2}$ не полуограничен сниз

а в классике так ставить вопрос имеет смысл?
$$L=\frac{m}{2}|\boldsymbol {\dot r}|^2+\frac{1}{|\boldsymbol r|^n},\quad n\ge 2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 12:43 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
Вопрос выяснен, нужные мне мотивации содержатся в статье The two dimensional motion of a particle in an inverse square potential: Classical and
quantum aspects
R. P. Martínez-y-Romero, H. N. Núñez-Yépez, and A. L. Salas-Brito
Citation: Journal of Mathematical Physics 54, 053509 (2013); doi: 10.1063/1.4804356

Всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9104
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1366122 писал(а):
а в классике так ставить вопрос имеет смысл?

Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент. И если при $n<2$ на Солнце падает лишь тело с $M=0$, то при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упадет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 14:20 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):
Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент.

Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 14:55 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):
Если мы рассмотрим одномерное движение вдоль радиуса, то эффективный потенциал будет $V+ M^2r^{-2}$, где $M$ угловой момент. И если при $n<2$ на Солнце падает лишь тело с $M=0$, то при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упадет.

Я это понимаю, просто мне для статьи нужны были ссылки на физику для обоснования актуальности работы.
Igrickiy(senior) в сообщении #1366161 писал(а):
Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

А что вам не нравится? в точности тоже самое, что было с катушкой только что: редукция системы с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы

-- 05.01.2019, 16:04 --

Red_Herring в сообщении #1366154 писал(а):
при $n>2$ любое тело с $\dot{r}(0)<0$ (и не только). на него упаде

это по-моему неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9104
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1366170 писал(а):
это по-моему неверно
Согласен, я неаккуратно посмотрел на график $W(r)=-r^{-n}+M^2r^{-2}$. Он имеет положительный максимум в $r=r^*$ и если $r(0)<r^*$ и $\dot{r}(0)<0$, то упадет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал степени -2
Сообщение05.01.2019, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70036
Igrickiy(senior) в сообщении #1366161 писал(а):
Как-то не звучит "одномерное движение вдоль радиуса" при наличие углового момента.

Видимо, от отсутствия знакомства с соответствующим общеизвестным формализмом. Например,
Ландау, Лифшиц. Механика. § 14. Движение в центральном поле.
Медведев. Начала теоретической физики. § I.10. Движение в центральном поле.
Арнольд. Математические методы классической механики. § 8. Исследование движения в центральном поле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen, Gleb1964


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group