Обозначим оператор

:

. Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

,
![$f \in C[a, b]$ $f \in C[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/b/f2b165fac01168a0fddd31ecd46c14a882.png)
,
![$K(s, t) \in C\left([a, b]\times[a, b]\right)$ $K(s, t) \in C\left([a, b]\times[a, b]\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe5853dc555bcd7749c572c06fb77d282.png)
.
Как следствие теоремы Банаха, метод простых итераций

наверняка сойдётся к решению, если

,

на квадрате. Это так, если решение ищется в
![$C[a, b]$ $C[a, b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/7/e77e794b3859783600b5f8f2bfed341e82.png)
с равномерной метрикой и
![$K: C[a, b] \mapsto C[a, b]$ $K: C[a, b] \mapsto C[a, b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/d/9fda0fbebdce27dca8c5bcd1667b70ff82.png)
. Однако, если
![$u \in L_2[a, b]$ $u \in L_2[a, b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/7/237013e0443ba5275c2e6da4453d302c82.png)
, то
![$\lambda K u + f \in C[a, b]$ $\lambda K u + f \in C[a, b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/a/e0a61724ec444e94f862ae9fe132fd6782.png)
, поэтому

-решение обязательно непрерывно. Но всамой метрике

оценка другая: пусть

тогда решение в

найдётся наверняка, если

. Заметим, что если

не постоянная функция, то

, то есть возможен случай

По сути это означает, что мы, заменив метрику с
![$C[a, b]$ $C[a, b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/7/e77e794b3859783600b5f8f2bfed341e82.png)
на
![$L_2[a, b]$ $L_2[a, b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/2/d82c569f72d4481fda25957b0107607482.png)
, улучшили гарантированную теоремой Банаха границу сходимости итераций (и при этом не испортили решений, так как даже после первой итерации

уже непрерывна). Вопрос: а дальше можно улучшить эту оценку? Имеется в виду та же процедура: возьмём полное метрическое пространство

такое, что
![$C[a, b] \subset U$ $C[a, b] \subset U$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/3/f23de28486d30de27e2422bd89d466a982.png)
и притом по метрике

оператор правой части

является сжимающим при

где

--- какая-то другая константа, зависящая только от

?